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stolz定理怎麼理解

生活更新时间:2024-09-08 11:33:54

之前所講的格林公式（第二類線積分與格林公式），它給出了平面上沿着封閉曲線（C）的第二型線積分與（C）所圍成的平面區域上的二重積分之間的關系。現在我們把它推廣到空間，也就是研究空間封閉曲線（C）和（C）上圍成的曲面的第二型面積分之間的關系。

首先我們給出Stokes公式：

設區域

stolz定理怎麼理解（Stokes公式）1

,(C)為(G)内一條分段光滑的有向簡單閉曲線,(S)是以(C)為邊界且完全位于(G)内的任一分片光滑的有向曲面,(C)的方向與(S)的法向量符合右手螺旋法則，則

stolz定理怎麼理解（Stokes公式）2

對于Stokes公式，我們知道它是對于格林公式在三維上的一個拓展，理解了格林公式，理解起來Stokes公式困難就不大了，這裡不再進行贅述。但是對于Stokes公式中，我們仍然有一個問題值得研究。

定義中的：“(S)是以(C)為邊界且完全位于(G)内的任一分片光滑的有向曲面”中的任一是什麼意思。再翻譯翻譯也就是：為什麼Stokes公式與曲線（C）上所張定向曲面無關？

下面是我的一些理解，我們已經得知了格林公式到底表示的是什麼。但是，對于封閉的曲線，我們誰都沒有規定它必須是在一個平面之内，我們可以把這個封閉曲線任意擺放。拓展到三維空間，把這個封閉曲線想像成我們撈小魚時漁網上的那個鐵絲圈，我們在這個鐵絲圈上蒙上的漁網就相當于曲面。和之前類似，對于這個線圈，力在封閉曲線上做的功就等于把魚網上的一個一個小孔上的功加起來。顯然相加的這個過程與二維形式相加沒什麼區别，中間公共的線上，力做的功都抵消了，隻剩下圍繞線圈所做的功。唯一不同的就是我們把原本一個窗戶上的紗窗變成了一個漁網。

stolz定理怎麼理解（Stokes公式）3

有了這個過程，我們就可以大概理解了為什麼Stokes公式與曲線（C）上所張定向曲面無關。（這隻是我個人的理解，具體細節請閱讀高數課本）

下集預告：梯度，散度，旋度。

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曆史文章：

第二類面積分和高斯公式

第二類線積分與格林公式

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