設 a 是任意自然數，則有以下命題：

（1）. a一定能被1整除。

（2）. 能被2整除的數的特征：a是偶數。

（3）. 能被3整除的數的特征：a各位數字之和能被3整除。

（4）. 能被4整除的數的特征：a的末兩位數字能被4整除。

關于被4整除的數的特征說明：

若a是兩位數，則（4）的條件自然成立，若a是三位或三位以上的數字，可将a寫成：a=100k m，其中m是a的末兩位數字，k是a除了末兩位以外的數字，由于100k一定能被4整除，所以若m也被4整除，則a一定能被4整除，這就證明了命題（4）。

（5）. 能被5整除的數的特征：a以0或5結尾。

（6）. 能被6整除的數的特征：a是偶數，且各位數字之和被3整除。

（7）. 能被7整除的數的特征：将a的個位數字截去，再從餘下的數中，減去個位數的2倍，差是7的倍數。

以3164是否能被7整除，按命題（7）判斷過程如下：

由于連續運用命題（7）對3164進行計算後，結果能被7整除，所以可知3164能被7整除。

關于能被7整除的數，還具備這樣一個特征，如果a的位數大于3位，則a的末三位與末三位之前的數字之差能被7整除，還以3164為例：164-3=161，而161÷7=23，所以3164可被7整除，這兩種方法同學們可靈活運用。

（8）. 能被8整除的數的特征：a的末三位數能被8整除。

（9）. 能被9整除的數的特征：a的各個數位上的數字之和能被9整除。

（10）. 能被10整除的數的特征：a的末位是0。

（11）. 能被11整除的數的特征：a的奇數位上的數字之和，減去它的偶數位上數字之和，其差能被11整除。

比如：528，5 8-2=11，所以528可被11整除。

如果a沒那麼大，那麼将a從右向左每兩位進行劃分，然後将各部分之和相加，若所得之和能被11整除，則a也可被11整除。

（12）. 能被12整除的數的特征：a既可被3整除，又可被4整除。

（13）. 能被13整除的數的特征：a的末三位與末三位之前的數字之差能被13整除。

比如：71858332，71858-332=71526，526-71=455，而455÷13=35，所以71858332可被13整除。

（14）. 能被14整除的數的特征：a既可被2整除，又可被7整除。

（15）. 能被15整除的數的特征：a既可被3整除，又可被5整除。

（16）. 能被16整除的數的特征：a既可被2整除，又可被8整除。

（17）. 能被17整除的數的特征：a的個位數字截去，再從餘下的數中，減去個位數的5倍，差是17的倍數。（或者a的末三位與其前面數3倍的差能被17整除，則這個數能被17整除。）

這個可以參考命題（7），以2091為例：

因為0能被17整除，所以2091能被17整除。

另一種方法判定：91-2x3=85，85÷17=5，所以也可得出2091能被17整除。

（18）. 能被18整除的數的特征：a既可被2整除，又可被9整除。

（19）. 能被19整除的數的特征：a的個位數字劃去，再加上個位數字的2倍，得到的結果能被19整除。

同樣可參考命題（7），以47045881為例：

由于57÷19=3，所以47045881可被19整除。

本文總結了能被20以内的數整除的數的特征，總體來說有以下幾種類型：

1、各數位之和可被3、9等整除，則原數可被這些數整除；

2、截尾加減法，例如7、17、19等；

3、奇偶和差法，如11；

4、分割做差法，如7、13、17等；

5、結尾判定法，如2、4、5、10等；

6、因子法，如：6、12、14、16、18等；

（來源：娜驿站微信公衆号）

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