今天我們通過一道題目來感受一下大自然的神秘和智慧。
題目：一束光線從空氣中的A點經過水面折射後到達水中的B點，如圖1所示。已知光在空氣中傳播的速度是v₁，在水中傳播速度v₂。光線在介質中總是沿着耗時最少的路徑傳播，請确定光的傳播路徑。
圖1
圖1中A到水面的垂直距離AO=h₁，B到水面的垂直距離BQ=h₂，OQ的長度為l，因為光在同一種介質中是沿着直線傳播的，假設光線的傳播路徑與線段OQ的交點為P，那麼光的傳播路徑為折線APB，設OP=x，那麼PQ=l-x，，光線從A傳到B所需要的時間為
式1
上式中x∈[0，l]。由數學知識可知，當T'(x)=0時T(x)取得最小值，對T(x)求導
式2
假設x=x₀時，T'(x)=0，則有
式3
令
式4
式5
把式4和式5帶入到式3中，整理得
sin θ₁/v₁=sin θ₂/v₂ （式6）
這其實就是光學中著名的折射定律。θ₁和θ₂分别是入射角和折射角。
假設光在空氣中折射率n₁，在水中的折射率n₂，由物理學的知識有v₁n₁=v₂n₂，結合式6有如下關系：
n₁sin θ₁=n₂sin θ₂
這個題目中預先告訴大家了光線在介質中總是沿着耗時最少的路徑傳播，然後我們推導出了折射定律。光學中有個概念叫做“光程”，它等于介質折射率乘以光在介質中傳播的路程。對于多種介質的情況，總的光程就是各介質中光程之和了。耗時最少的路徑其實就是總光程最小的路徑。
這裡插一句，“光線傳播的路徑是耗時最少的路徑”這種說法可能是費馬原理最早的描述，後來的科學家可能覺得這種表述不嚴謹或者說某些情況不适用而給出了更加嚴謹說法。因為已經觸及小編的知識盲區，不去讨論。對于大多數人來說中學的時候已經學了光的折射定律，在這個題目裡面光的實際路徑的确是其耗時最少的路徑。對于更加嚴謹的光學理論描述那是科學家研究的事情，我們隻讨論題目中這種簡單的情況。
一段路程如果需要人來走完，人們往往希望找到一條“捷徑”，希望用時最短。而在題目中這種情況，光從空氣中位置A傳播到了水中位置B，卻能默認地選擇耗時最短的路徑。不禁感歎光是多麼的“聰明”。對我們來說，是不是感覺有種神秘的力量在控制着客觀世界，使得大自然中的現象都是按規律進行的，而這種規律似乎又略帶着些上帝“個人喜好”的成分。
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