在世界數學難題中，最著名的當屬7個千禧問題了。這是一系列的問題，解決其中任何一個都可以獲得100萬美元。黎曼假設是最容易表述的，所以有很多關于它的文章。龐加萊猜想是迄今為止唯一一個被解決的，因此也有許多關于它的文章。

這篇文章将要讨論的問題叫做霍奇猜想（Hodge Conjecture）。這是一個代數幾何的問題。本文嘗試為一般的數學讀者提供這個猜想的概述。

拓撲學基本上是研究如何使物體變形的。首先，我們設一個空間X是一個球面（二維的）。

如果我們從球面上的任何一個環（比如黑色的那個）開始，我們可以将它滑動到一個點（黑點）。當我們可以這樣做的時候，我們把這個環稱為“等于0”，因為這個環可以變為一個點。

對于這個球面上的任何一個環，我們都可以将它滑到一個點，所以這個變形等價的環的集合為0。我們用下式表示這種情況

需要注意的一件重要的事情是，開始的環并不一定是一個“平滑的循環”。它可以是任意的形狀，隻要它是一個閉環即可。下标1表示研究的環是一維的（在二維平面中）。

讓我們增加一點難度，看看環面（也是二維的）。

上圖中紅色的環可以變形到環面上的一點。但是黑色的環（上圖波狀黑圈）則不能縮到一個點上，它最多可以變成上圖光滑的黑圈。

任何環繞中心孔的閉環都可以縮小到中間的環上（上圖紅色圈）。嚴格地證明并不容易，因為我還沒有給出真正的定義，但是如果你仔細想想，你應該能夠說服自己，環面隻有以上這三種情況。

所以，唯一的非零元素是由這兩個環産生的。在本例中（環面），我們用下式表示：

它是第一個同調群。如果一個環是[A]，另一個環是[B]，我們可以用有理數作為系數對它們求和，如：

如果我們稱這些一維的環為1環，那麼我們就稱k維的對應環為k-環。準确地定義它們有點奇怪，因為我們仍然希望在更高的維度中有“成為一個環”的概念。

為了感受一下，你可以想象一個3d球體：

如果你有一些二維的小塊在裡面，你總是可以把它縮小到一個點。從圖上很難分辨，但你應該注意到這是在三維球體的内部。在之前的例子中，我們必須在二維球面上。

k-環的情況用下式表示：

由于所有的1-環都會縮到球面上的一點，因此：

所有的2-環也會縮到一點，因此：

在某種意義上，H的維數k将告訴你在空間X中有多少個（n-k）維孔，其中n是X的維數。H_1是二維的，因為它有兩個“孔”，一個繞着環面的“管”，另一個繞着中心孔。

幾何可以表示很多不同的東西，但在本文中，我們用的是“代數幾何”。如果你學過線性代數，你應該對這個概念很熟悉。線性代數研究的是線性方程組的零集。你會得到非常簡單的東西，比如平面和子空間。

回想一下，線性代數中的技巧包括在思考“圖像”（比如零空間、值域空間、平面的交點）和實際計算的“代數”之間來回轉換。

線性代數在某種意義上是“完全解決了”，但如果你讓你的方程中有不同指數，那它們就是多項式。這就是代數幾何：在多項式零集的幾何和處理這些方程的代數運算之間進行轉換。

在本文中，一個光滑代數簇（簡化為“簇”）是一個幾何空間X，由多項式的零集給出，得到的空間是"光滑的"，就像你們在微積分中學到的那樣。

二維球面由二次方程給出。圓環面是由三次方程給出的橢圓曲線。希望你們理解了這個奇怪的術語。橢圓曲線是一個二維環面。

因為我們處理的是複數，所以“實”維數總是偶數。如果你考慮複平面，它看起來像：

但它隻是ℂ。代數幾何學家用複維來稱呼事物，所以一維曲線有2個實維，而二維曲面有4個實維。

我們需要的最後一個術語是子簇。你們可以想象，X的一個子簇是由多項式方程零點集給出的一個子集，因此也是一個簇。

這是使霍奇猜想有趣的關鍵思想：從拓撲學家的觀點來看，實際上沒有什麼多樣性。

作為多項式集合的零集是非常有限的。拓撲上的東西可能會很瘋狂，很奇怪且很晦澀。如果你從X的一個子簇開始，然後像我們上面做的那樣對它進行任意變形，你最終得到的将不再是一個子簇。

另外，請注意，一個子簇是通過取多項式零點集并與X相交而形成的。這本質上是一個“全局”的東西。拓撲上變形的形狀在某種意義上是一個“局部”的東西。

所以如果這兩個不同的數學分支之間有很好的聯系，我們應該感到驚訝。

在這一點上，我們可以給出的霍奇猜想最簡單的表述是：

在

中，給定某個環[A]，是否存在一個k維子簇Y來表示[A]？我們稱這樣的子簇為[A]的代數代表。

讓我們把它解剖一下。回想一下，A可能是奇形怪狀的，它是一種基本的拓撲結構，繞着x中的一個孔。

有沒有辦法把A“變形”成一個由多項式方程定義的“漂亮”形狀？

如果你認為答案顯然是肯定的，那麼你可能沒有領會到作為一個子簇是多麼強大和受限。如果你認為答案顯然是否定的，那麼你可能無法理解在不改變A的類的情況下，我們可以做多少變形。

記住，我們在複數上面，所以每個子簇都是偶維的。例如，這意味着

中沒有代數代表。

但即使我們把自己限制在維度上，還有一個技術條件會帶來問題。

如果你查霍奇猜想，标準的表述方式涉及上同調而不是同調，所以隻有上标，沒有下标。事實證明這些隻是對偶概念。如果X有（實）維度n，那麼我們可以把Hₖ(X，ℚ)中的[A]看作是Hⁿ⁻ᵏ(X, ℚ)中的一個類。

這樣做的原因之一是上同調可以用微分形式來解釋。這意味着我們可以用積分來進行數值計算。

在我們對X的假設下，上同調有一個很好的分解，叫做霍奇分解。它甚至使用調和函數。以4為例：

H⁴(X, ℂ)可以分解為(0,4)(1,3)(2,2)(3,1)和(4,0)。中間部分由稱為霍奇類的形式組成。

一個使用一些技術機制的相當簡單的計算表明，任何子簇[Y]必須落在中間的那塊上。換句話說，每個子簇都是一個霍奇類。

例如，如果X是6維的（複數意義上的），而Y是二維的子簇，則[Y]屬于 H⁸(X, ℚ)的(4,4)部分。

如果所有這些都有點多，就把這看作必須滿足的一個額外的“數字條件”。因為每個子簇都是霍奇類，我們知道霍奇猜想的簡單表述版本是不正确的，因為我們隻取一個非零的非霍奇類。

霍奇猜想的正确版本是：每一個霍奇類都是代數的。換句話說，我們可以選任何一個霍奇的類，不管它有多怪異，我們都可以把它變形成一個子簇。

一些進展

事實證明霍奇猜想在低維空間中是正确的。這是由Lefschetz在1924年證明的，而霍奇猜想是1950年提出來的。在過去的幾年裡，也有一些其他的維度被證明，但都是在非常強大的額外假設下。

你可以想象有人做了一個天真的猜想，然後有人指出實際上子簇都是霍奇類。然後有人說，我想知道是不是所有的霍奇類都是代數的。

然後在1961年，Atiyah和Hirzebruch證明了積分版本是錯誤的。于是人們說，我想知道我們是否可以用Q代替Z，如果這是真的。這就是我們今天所處的處境。

與黎曼假說不同，霍奇猜想似乎是一項正在進行中的工作，在經過幾次改進後陷入了困境。我們甚至不知道當X是4維且由一個多項式方程給出時它是否成立。

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