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任意三角形三邊三等分點連線

生活更新时间:2025-01-10 23:08:26

一線三等角模型

學習目标：用“一線三等角”基本模型，解決全等三角形、相似三角形中的相關問題

重點：掌握“一線三等角”基本模型

難點：“一線三等角”基本模型的提煉、變式和運用

所謂“一線三等角”，通俗地講就是一條直線上有三個相等的角，一般就會存在相似三角形，當對應邊也相等時，就會有全等三角形，即：“一線三等角，全等相似兩邊找”

看一下它的基本模型：

銳角型：

如圖，等腰△ABC中，∠DEF=∠B=∠C，圖中有沒有相似三角形？請說明理由。

任意三角形三邊三等分點連線（全等相似兩邊找）1

∵∠1 ∠4=180°-∠B，∠1 ∠2=180°-∠DEF

∠B=∠DEF

∴∠2=∠4

又∵∠B=∠C

∴△BDE∽△CEF

鈍角型：

如圖，四邊形ABCD中，∠DEC=∠A=∠B，找出圖中相似三角形并證明。

任意三角形三邊三等分點連線（全等相似兩邊找）2

∵∠1 ∠4=180°-∠A，∠1 ∠2=180°-∠DEC

∠A=∠DEC

∴∠2=∠4

又∵∠A=∠B

∴△ADE∽△BEC

直角型：

如圖，A、B、C三點共線，∠A=∠C=∠DBE=90°，用同樣的方法，易證△ABD∽△CEB，直角型的三垂直我們又把它叫做“三垂直模型”，它的應用更加廣泛，考試出現的概率最大

任意三角形三邊三等分點連線（全等相似兩邊找）3

全等型：

如圖，B、C、D三點共線，∠B=∠D=∠ACE，AB=CD，求證△ABC≌△CDE.

任意三角形三邊三等分點連線（全等相似兩邊找）4

由一線三等角，易證∠1=∠A

又∵AB=CD，∠B=∠D

∴△ABC≌△CDE（ASA）

由以上基本模型發現，一線三等角模型中，一定存在相似三角形，有可能存在全等三角形（全等是相似的一種特殊情況）

中點型“一線三等角”模型

如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC，∠EDF=∠B，D是BC邊的中點，請找出圖中所有的相似三角形，并證明。

任意三角形三邊三等分點連線（全等相似兩邊找）5

任意三角形三邊三等分點連線（全等相似兩邊找）6

我們通過觀察發現，以上“一線三等角模型”有個共同點，三個角均在直線的同一側，當這三個角不在同一側時，會有相似三角形存在嗎？如下圖，自己找出相似三角形并證明。

任意三角形三邊三等分點連線（全等相似兩邊找）7

典型例題：

任意三角形三邊三等分點連線（全等相似兩邊找）8

任意三角形三邊三等分點連線（全等相似兩邊找）9

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