第三節 幾何作圖

一、等分圓周和作正多邊形

1. 用三角闆與丁字尺配合作正六邊形

(1) 三角闆與丁字尺配合作正三邊形

（2）用三角闆與丁字尺配合作正六邊形

2. 用圓規作圓的内接正三（六）邊形

① 以圓的直徑端點F為圓心，已知圓的半徑R為半徑畫弧，與圓相交于B、C。

② 依次連接A、B、C，即得到圓的内接正三邊形。

③ 再以圓的直徑端點A為圓心，已知圓的半徑R為半徑畫弧，與圓相交于D、E。

④ 依次連接A、E、B、F、C、D、A，即得到圓的内接正六邊形。

3. 用圓規作圓的内接正五邊形

① 在已知圓中取半徑OM的中點F

② 在已知圓中取半徑OM的中點F

③ AG即為五邊形的邊長（近似）

④ 以AG為半徑，依次在圓周上截得五等分即為所求

圓的任意等分可利用弦長表，計算出每一等分所對應的弦長，用分規直接作圖

【例1-3】 已知圓的直徑為φ50，試作圓的内接正九邊形。

① 圓的等分數n=9，在表1-9中查得弦長L9=0.342d。

② 計算弦長：L9=0.342×50=17.1。

③ 畫直徑為φ50的圓，用弦長L9=17.1在該圓上依次截取九個等分點，再依次連接九個等分點即可。

二、圓弧連接

用一圓弧光滑地連接相鄰兩線段（直線或圓弧）的作圖方法，稱為圓弧連接。

1．圓與直線相切的作圖原理

① 連接弧的圓心軌迹是已知直線的平行線，兩平行線之間的距離等于連接弧的半徑R 。

② 由圓心向已知直線作垂線，垂足即為切點

2．圓與圓相切的作圖原理

（1）圓與圓外切

① 連接弧的圓心軌迹是已知圓弧的同心圓，同心圓的半徑等于兩圓弧半徑之和（R1 R）。

② 兩圓心的連線與已知圓弧的交點即為切點。

（2）圓與圓内切

① 連接弧的圓心軌迹是已知圓弧的同心圓，同心圓的半徑等于兩圓弧半徑之差｜R1－R ｜。

② 兩圓心連線的延長線與已知圓弧的交點即為切點。

3．圓弧連接的作圖步驟

用圓弧連接鈍角的兩邊

已知條件和作圖要求

作圖步驟：

（1）作已知直線的平行線，求連接圓弧的圓心 。

（2）過圓心作已知直線的垂線，求切點。

（3）在切點之間畫連接弧

用圓弧連接銳角的兩邊

已知條件和作圖要求

作圖步驟：

（1）作已知直線的平行線，求連接圓弧的圓心。

（2）過圓心作已知直線的垂線，求切點。

（3）在切點之間畫連接弧。

用半徑為R的圓弧連接直線和圓弧

已知條件和作圖要求

作圖步驟：

（1）作平行線和同心圓求連接弧圓心。

（2）作垂線和連心線，求切點。

（3）在切點之間畫連接弧。

用半徑為R的圓弧與兩已知圓弧外切

已知條件和作圖要求

作圖步驟：

（1）分别作同心圓，求連接弧圓心。

（2）分别作連心線，求切點。

（3）在切點之間畫連接弧。

用半徑為R的圓弧與兩已知圓弧内切

已知條件和作圖要求

作圖步驟：

（1）分别作同心圓，求連接弧圓心。

（2）分别作連心線，求切點。

（3）在切點之間畫連接弧。

用半徑為R的圓弧與兩已知圓弧混合連接

已知條件和作圖要求

作圖步驟：

（1）分别作同心圓，求連接弧圓心。

（2）分别作連心線，求切點。

（3）在切點之間連接圓弧。

三、作圓弧的切線

零件的平面輪廓常有直線光滑地與圓弧相切。作直線與圓弧相切時，通常借助圓規、三角闆作圖，求出其切點。

【例】 已知圓上一點A，過A 作該圓的切線

作圖步驟

① 連接圓心O和切點A，作OA的垂直平分線，得B、C 兩點。

②以B為圓心、BO為半徑畫半圓，交OB的延長線于點D。

③ 連接A、D兩點，AD 即為所求的切線。

【例】 過圓外一點A 作已知圓的切線

作圖步驟

① 作點A與圓心的連線，求出OA的中點O1

② 以O1 為圓心、OO1為半徑畫弧，與已知圓相交于點C1、C2

③ 分别連接點A、C1和點A、C2，即為所求的切線

【例】 已知兩圓O1、O2，利用圓規求作同側公切線。

作圖步驟

① 以O2為圓心，R2-R1為半徑畫輔助圓，過O1作輔助圓的切線O1A

② 連接O2A并延長，使與O2圓交于B

③ 作O1C//O2B，連接BC即為所求的公切線

【例】 已知兩圓O1、O2，利用圓規求作異側公切線

作圖步驟

① 以O1O2為直徑（半徑為R）畫輔助圓；以R1 R2為半徑畫弧，與輔助圓相交于點K。

② 連接O2K與O2圓交于C2。

③ 作O1C//O2C2，連接C1C2即為所求的公切線。

四、平面圖形的畫法

平面圖形都是由一些直線、弧線、曲線等通過尺寸與連接關系确定的。

在平面圖形中，有些線段可以根據給定的尺寸直接畫出；而有些線段則需要利用線段連接關系，找出潛在的補充條件才能畫出。

要處理好這方面的問題，就必須首先對平面圖形中各尺寸的作用，各線段的性質，以及它們間的相互關系進行分析，在此基礎上才能确定正确的畫圖步驟，并正确、完整的标注尺寸。

1、平面圖形的尺寸分析

1）定形尺寸

決定平面圖形形狀和大小的尺寸稱為定形尺寸。如圓的直徑、圓弧半徑、多邊形邊長、角度大小等均屬定形尺寸。如15、R12、R15、Ф20、Ф5、R50、R10均為定形尺寸。

2）定位尺寸

決定平面圖形中各組成部分與尺寸基準之間相對位置的尺寸，稱為定位尺寸。如圓心、封閉線框、線段等在平面圖形中的位置尺寸。如8、75、15等均為定位尺寸。标注定位尺寸時必須與尺寸基準（坐标軸）相聯系。⁂⁂注意：有的尺寸，既是定形尺寸，又是定位尺寸。

2、平面圖形的線段分析

1）已知弧

半徑尺寸和圓心位置（兩個坐标方向）尺寸已知的圓弧為已知弧。

2）中間弧

半徑尺寸和圓心的一個坐标方向的位置尺寸已知的圓弧為中間弧。

3）連接圓弧

圓弧半徑尺寸已知，無圓心坐标的圓弧為連接弧。

連接弧缺少圓心坐标兩個尺寸，必須利用與其相鄰的兩幾何關系才能定出圓心位置。

3、平面圖形的作圖步驟

4、平面圖形的尺寸标注

标注尺寸要符合國家标準規定，尺寸不出現重複和遺漏，尺寸要安排有序，布局整齊，注号清楚。

1）确定尺寸基準：在水平方向和鉛垂方向各選一條直線作為尺寸基準。

2）确定圖形中各線段的性質，确定出已知線段、中間線段和連接線段。

3）按确定的已知線段、中間線段和連接線段的順序逐個标注出各線段的定形和定位尺寸。

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