找相似？求三角函數？勾股數它不香嗎？

在九年級複習中，許多能用到相似的地方，多半可以用到三角函數，特殊相似就特殊三角函數例如含30°、60°、45°的角，當然還有一類特殊三角函數，特殊在比值而不是角度，例如勾股數為邊長的直角三角形，常見勾股數有3，4，5或者5，12，13等，滿足上述比例的三角形如果出現在同一個圖形中，它們同時也是相似三角形，但利用比例來計算，更容易将思路理順。

題目

已知AB是圓O的直徑，C是圓上一點，∠BAC的平分線交圓O于點D，過D作DE⊥AC交AC的延長線于點E，如圖1.

(1)求證：DE是圓O的切線；

(2)若AB=10，AC=6，求BD的長；

(3)如圖2，若F是OA中點，FG⊥OA交直線DE于點G，若FG=19/4，tan∠BAD=3/4，求圓O的半徑.

解析：

(1)欲證切線，先連切點，念念這句口訣，連接OD，隻要證明OD⊥DE即可，如下圖：

∵AD是角平分線，∴∠1=∠2，∵OA=OD，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴OD∥AE，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴DE是圓O的切線；

(2)既然給出了AB和AC，那便索性連接BC，将構造出直角三角形後求出BC=8，如下圖：

在前一小題中我們已經證明了OD∥AE，再加上點O是AB中點，因此可得ON是△ABC中位線，于是ON=3，而OD=5，于是DN=2，同時由于N是BC中點，前面已經求得它是8，所以BN=4，因此在Rt△BDN中，根據勾股定理求出BD=2√5；

(3)先強調，在前一小題裡，我們其實已經用到了三邊為3，4，5的直角三角形，而在這一小題裡，這種特殊直角三角形非常之多，原因便在于條件tan∠BAD=3/4，不妨先來找找看有哪些吧！

第一個是△ABD，然後是△ADE，因為∠BAD=∠DAE嘛！

第三個是△AFM，還有沒有呢？讓我們繼續推導，前面已經證明過∠ADO=∠OAD，其中∠ADO ∠ADE=90°，而∠OAD ∠AMF=90°，于是得到∠ADE=∠AFM，所以得出∠ADE=∠GMD，這不是一個等腰三角形嗎？那就過點G作GH⊥AD于點H，這樣又可以多構造出兩個三邊比為3：4：5的直角三角形，第四個是△GMH，第五個是△GDH，我想應該差不多了，這五個直角三角形的三邊比全部是3：4：5，如下圖：

結論中要求出半徑，于是設半徑為x，推導如下：

解題反思

解完之後，對于上述思路的突破口形成，主要是益于對題目條件的理解，給出FG的長度，又給出三角函數，其實也是邊長的關系，因此設未知數來表示FG的長度從而列方程求解，隐隐是正道。難度在于如何表示FG的長度，再加上題圖中并未标記FG與AD交點，所以算是個小坑，而另一個不容易想到的則是等腰△AOD，以及由此産生的三線合一，一旦這些難點突破，接下來就是純粹的比例運算和列方程了。

在解題過程中，适當利用特殊邊長比的直角三角形，是有利于減輕計算壓力的，當然，利用相似或三角函數同樣也簡單。這不由得令人想起相似三角形的性質，相似三角形的對應邊成比例，它延伸一下，就得到兩個相似三角形的三邊之比相等。

看來功夫還是要下在平時。

雪浪紙

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