數學實踐大概可以分為兩大類：第一大類負責推動這門學科“向前”發展，即促使它由粗變精并不斷拓展出新的分支學科；而第二大類則負責“向後”審查一下這種“向前”發展自身所依賴的基本概念、基本方法等是否可靠。如果不可靠的話，數學家還需想辦法使其變得可靠。這第二大類的數學實踐就是“數學基礎”工作。

根據《古今數學思想》等數學史資料的記載，曆史上隻有很小比例的數學家專門從事過數學基礎工作。古希臘時期那個宣稱“萬物皆數”的畢達哥拉斯學派就是一個明顯的證據。該派學者們堅信世界上的一切現象最終都可以歸結為整數和整數之比，在數學中，他們則建立起了與上述信念相一緻的比例理論，其中所有量的比當然都可以歸結為整數和整數之比，也就是說，它們都是“可通約的”。這樣一來，整數便成為畢達哥拉斯學派比例理論的基礎了。類似地，該派的其它數學理論也是以整數為基礎的。數學以整數為基礎的觀念也逐漸成了當時數學界的一種共識。

不幸的是，畢達哥拉斯學派的弟子希伯索斯卻發現正方形對角線的長度與其一邊的長度之比是不可通約的。根據亞裡士多德的記載，畢達哥拉斯學派學者後來也通過歸謬法證明了這一發現。該不可通約比的發現随即引發了一場數學基礎危機。

現在讓我們來到十九世紀末。這一時期的數學界開始了一場嚴密化運動。首先要讨論的領域是（數學）分析。衆所周知，“無窮小”是分析中最重要的概念之一，而由萊布尼茨、牛頓等人構造出來的相關理論卻是很不成功的，甚至遭到了貝克萊的嘲笑。為了擺脫這一理論困境，柯西另辟踢徑，從界定另一個概念—“極限”入手來定義無窮小概念。他先給出如下的極限定義：

當一個變量逐次所取的值無限趨近于一個定值，最終使得變量的值和該定值之差要多小就多小，這個定值就叫做所有其它值的極限。

利用該極限概念，柯西這樣定義了作為非固定數的無窮小概念：

當一個變量的數值這樣地無限減小，使之收斂到極限０，那麼人們就說這個變量稱為無窮小。

在極限與無窮小這兩個基本概念的基礎上，柯西又進一步定義了分析中的其它一系列重要概念。這樣一來，極限概念就成為柯西分析理論的基礎了。之後，魏爾斯特拉斯對柯西的工作進行了改造。針對柯西的極限定義，他指出該定義中“當一個變量逐次所取的值無限趨近于一個定值”的表述會讓人聯想到運動和時間，而對這類直覺的排除正是這場數學嚴密化運動所要完成的任務。

魏爾斯特拉斯對該定義所做的改造如下：他先把變量解釋為一個字母，它代表該變量可以取值的集合中任何一個數，然後就給出了現今普遍釆用的極限定義：

如果給定任何一個正數ε，都存在一個正數δ使得對于區間

内的所有ｘ都有

則f(x)在x=x_0處有極限Ｌ。

可見，魏爾斯特拉斯的極限概念是以實數的算術理論為基礎的，因而數學家們就必須着手構造合适的實數理論了。

德國數學家康托在尋找函數展開為三角級數表示的唯一性判别準則的工作中，認識到了無窮集合的重要性，并開始從事一般集合理論的研究。康托通過深入的研究，創立了一般的集合理論，也就是“康托集合論”。然而，該理論中卻包含了當時令衆多數學家非常震驚而又無法接受的“超限基數”和“超限序數”理論。

以康托集合論為基礎，戴德金在《數的性質與意義》中提出了他的整數理論。之後的皮亞諾又利用戴德金的成果，并結合流行的公理化方法，在《算術原理新方法》中給出了比前者更為簡單的整數理論。在整數理論的基礎上，有理數和實數理論也相繼出現。

同樣在那個年代，非歐幾何的創立标志着古老的幾何學也開啟了前所未有的發展曆程。盡管高斯在1820年左右就己經獲取了許多非歐幾何的定理，甚至也表示相信非歐幾何的一緻性，但最先發表非歐幾何著作的卻是羅巴切夫斯。高斯、羅巴切夫斯等人研究的非歐幾何是“羅氏幾何”，也稱“雙曲線幾何”；黎曼等人則研宄了另一種非歐幾何一一“黎曼幾何”，也稱“橢圓幾何”。

另外，數學家們通過研究得出了歐氏幾何與非歐幾何之間可以通過合适的模型相互轉化的結論。既然如此，非歐幾何的一緻性問題也就可以轉化為歐氏幾何的一緻性問題了。然而，通過證明歐氏幾何的一緻性來給出非歐幾何一緻性證明的方法最多隻能證明非歐幾何的“相對”一緻性。因此，人們就不得不求助于由笛卡爾、費馬等人建立并發展起來的解析幾何把歐氏幾何的一緻性問題先轉化為算術理論的一緻性問題、再轉化為實數理論的一緻性問題，并最終轉化為康托集合論的一緻性問題。

可見，康托集合論對當時的分析與幾何，進而對當時的整個數學都起了一種至關重要的奠基作用。但不幸的是，集合論悖論的發現卻暴露出康托集合論自身所潛藏的巨大困難，這使得貌似己經穩固的數學基礎又一次陷入了危機。集合論悖論主要指“布拉裡－福蒂悖論”、“康托悖論”和“羅素悖論”。其中，羅素悖論可以用如下的方式表述：

我們把集合分成兩類，凡是不以自身作為元素的集合稱為正常集，凡是以自身作為元素的集合稱為異常集。每個集合或者為正常集或者為異常集。設Ｓ為全體正常集所組成的集合，那麼Ｓ是正常集還是異常集？如果Ｓ是正常集，那麼由正常集的定義知Ｓ不是Ｓ自身的元素；但由于Ｓ為全體正常集所組成的集合，正常集都是Ｓ的元素且Ｓ是正常集，因而Ｓ又應是Ｓ的元素，這導緻矛盾。如果Ｓ是異常集，那麼由異常集的定義知Ｓ是Ｓ自身的元素，但是根據Ｓ的定義，它是全體正常集組成的集合，因而異常集Ｓ又不應該是Ｓ的元素，這又導緻矛盾。也就是說，不論Ｓ是正常集還是異常集，都将導緻矛盾。

以羅素悖論為代表的集合論悖論表明康托集合論自身就是不一緻的。這導緻了數學家們不得不開始嚴肅地思考一些更深層次的問題，比如“集合論悖論的根源何在”、“本身就不一緻的康托集合論是否還有資格作為整個數學的可靠基礎”等。

康托集合論之後還出現了“公理集合論”。它的創立者策墨羅提出人們隻要把康托集合論中的集合限制在“安全類”就足以避免集合論悖論了，這裡的安全類首先就包含了空類、任何一個有限類和自然數類，以及通過“聯合”己有安全類等方式所形成的類。（當然，對安全類“求餘”的方式未必能形成安全類）

之後的弗蘭克爾、馮諾依曼等人遵循上述基本思想完善和發展了公理集合論。雖然該理論足以排除已知的集合論悖論，但它自身的一緻性問題還沒有得到根本的解決，可能如彭加萊所說的那樣

為了防備狼，羊群己用籬笆圈起來了，但卻不知道在圈内有沒有狼。

讓我們再回到康托集合論那裡。一方面，一部分數學家極力反對它，比如克羅内克、彭加萊就分别把康托集合論當作“神秘主義”和有趣的“病理學的情形”。

另一方面，又有一部分數學家極力維護康托集合論，比如希爾伯特，他贊美它是“數學思想的最驚人的産物，在純粹理性的範疇中人類活動的最美的表現之一”，因而他聲稱：

沒有人能把我們從康托為我們創造的樂園中趕出去。

通過仔細閱讀上述反對方的相關文獻，我們就會發現他們所提出的根本理由不是純技術的，因為這些理由己經觸及到純技術背後那個更深層次的哲學層面了（和數學相關的）。對數學這個層面的探讨就構成了哲學的一個分支一一數學哲學。它主要探讨數學的真理性、數學本體論、數學認識論等深層次的問題。

關于數學哲學與數學基礎的關系，數學家們大緻可以持以下三種不同的觀點。

• 第一種是“數學哲學在先的觀點：數學哲學為包括數學基礎在内的一切數學實踐提供“第一原則”，從而決定了什麼才是正确的數學實踐，因而數學哲學就是包括數學基礎在内的一切數學實踐的基礎。上面所提到的那些反對康托集合論的數學家顯然都持這種觀點。
• 反對上述觀點的數學家或許會極端地認為：數學的任何實踐都同數學哲學沒有關系，因而從事數學基礎工作的人完全無需關注數學哲學。這可以看作數學家處理數學哲學與數學基礎關系問題上的第二種觀點。

實際上，大部分數學家在從事數學實踐時，的确不怎麼關注包括數學哲學在内的一切哲學，雖然我們也不能否認他們中的一部分人會在業餘時間裡認真思考數學哲學，甚至思考其它哲學問題。

當然，對數學哲學的關注并不意味着非要把某種數學哲學作為第一原則來對待。于是，數學家們就有可能持有第三種比較溫和的觀點：

• 在數學基礎工作中，數學哲學的首要任務就在于為數學基礎提供一緻的說明。當然，它或許還能給人們一些靈感和啟發。哥德爾就是一個明顯的例子。他承認柏拉圖主義思想對他發現不完全性定理具有某些啟發作用。更重要的是，柏拉圖主義還為“最小上界”等非直謂定義提供了一緻的說明，并指出它們并非惡性循環。可是，他沒有在第一原則，先于實踐的立場上論證柏拉圖主義。

對于從事數學基礎工作的人來說，第二種觀點肯定是不可取的，因為思考相關的數學哲學問題對于數學基礎工作是不可避免的。一方面，對于數學基礎問題的研究極其容易導向對數學哲學問題的思考，因為衆多對數學基礎的定義本身就直接牽涉到了數學哲學。

另一方面，數學史己經表明凡在數學基礎領域内有過突出貢獻的數學家都有着非常深刻的數學哲學思想。對于其中那些持“數學哲學在先”觀點的數學家來說，我們顯然不能無視他們的數學哲學思想而孤立地理解、批判其數學基礎工作。對于其中剩下的那些數學家，對他們數學哲學思想的理解也時常有助于理解其數學基礎工作。更重要的是，為了理解、批判上述數學家之間在數學基礎領域内的“鬥争”，我們就必須把握他們各自的數學哲學思想，因為這類“鬥争”的最終戰場就在于這個層面。

第三種觀點對數學哲學的要求顯然就己經包含在第一種觀點對數學哲學的要求中了。然而，如果某種數學哲學非但不能給相應的數學基礎工作提供一緻的說明，甚至還與之發生矛盾，那麼持第一種觀點的人一定會立即修改數學，而持第三種觀點的人則會立即抛棄這種數學哲學。

例如，對于達米特數學哲學中意義理論的接受，會導緻我們必須拒斥經典數學中廣泛使用的排中律，那麼持第三種觀點的人就一定會毫不猶豫地拒絕該意義理論，因為他們會認為：

…如果要求改變數學，那麼達米特關于語言的那些論證必定是錯誤的。這是一個用不着回答的疑問句：作為實踐的數學和達米特的語言哲學，哪一個更安全，更像是真的？更為中立地陳述這件事情：達米特論證說當代數學沒有享有某種類型的辯護。一個反對修正主義的人可能會同意這一點，但會馬上加一句說，數學不需要這種辯護。

可見，能否為數學基礎提供一緻的說明就成了他們對各種數學哲學進行取舍的标準，而數學是否要修改則完全不受數學哲學的影響，其修改的理由隻能來自于數學本身。

然而，數學史上的許多重大變革都源自于科學技術的需要。既然科學技術可以作為修改數學的理由，那麼己獲得充分辯護的某種數學哲學為什麼不可以呢？因此，全然否定這種可能性的第三種觀點是不可取的，而第一種觀點則是不全面的，因為修改的理由不僅限于數學哲學。

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