第二十一章 一元二次方程

21.1 一元二次方程

在一個等式中，隻含有一個未知數，且未知數的最高次數是 2 次的整式方程叫做一元二次方程。

一元二次方程有四個特點： (1) 隻含有一個未知數； (2) 且未知數次數最高次數是 2；(3) 是整式方程．要判斷一個方程是否為一元二次方程， 先看它是否為整式方程，

若是，再對它進行整理． 如果能整理為 ax bx c=O(a-::O) 的形式，則這個方程就為一元二次方程． （ 4）将方程化為一般形式： ax 2 bx c=O 時，應滿足（

a-::O）

21.2 降次——解一元二次方程

1. 一元二次方程的解法

2

(1) 直接開平方法：根據平方根的意義，用此法可解出形如 x 2 a (a ?O)，(x a) b (b ? O) 類的

2

一元二次方程． x a ，則 x a ； (x a) b ， x a b ， x a b ．對有些一元二次方程，本

身不是上述兩種形式，但可以化為 x 2 a 或(x a)2 b 的形式，也可以用此法解．

(2) 因式分解法：當一元二次方程的一邊為零，而另一邊易分解成兩個一次因式的積時，就可用

此法來解．要清楚使乘積 ab=O 的條件是 a=O 或 b=O，使方程 x(x —3) =O 的條件是 x= O 或 x—3

= O．x 的兩個值都可以使方程成立，所以方程 x(x — 3) =O 有兩個根，而不是一個根．

2

(3) 配方法：任何一個形如 x

bx 的二次式，都可以通過加一次項系數一半的平方的方法配成一

個二項式的完全平方， 把方程歸結為能用直接開平方法來解的方程． 如解 x 6x 7 O 時，可把方程

x 2 6x 6 7 6

化為 x 2 6x

7 ， 2

2 ，即 (x 3)2 2 ，從而得解．

注意： (1) ”方程兩邊各加上一次項系數一半平方”的前提是方程的二次項系數是 1．

(2) 解一元二次方程時，一般不用此法，掌握這種配方法是重點．

2

(3) 公式法：一元二次方程 ax bx c O (a -::O) 的根是由方程的系數 a、b、c 确定的．在 b 4ac O

x

b b

a

4ac

．用公式法解一元二次方程的一般步驟：

也先把方程化為一般形式，即 ax 2 bx c O (a -:: O) 的形式；

＠正确地确定方程各項的系數 a、b、c 的值( 要注意它們的符号 ) ；

＠計算 b 4ac O 時，方程沒有實數根，就不必解了 ( 因負數開平方無意義 ) ；

＠将 a、b、c 的值代入求根公式，求出方程的兩個根．

說明： 象直接開平方法、因式分解法隻是适宜千特殊形式的方程，而公式法則是最普遍，最适用的方法．解題時要根據方程的特征靈活選用方法．

.

一元二次方程根的判别式

一元二次方程的根有三種情況： 也有兩個不相等的實數根； ＠有兩個相等的實數根； ＠沒有實數

根．而根的情況，由 b2

4ac 的值來确定．因此 b 2 4ac 叫做一元二次方程 ax 2 bx c O 的根的判

别式．

,6>O 方程有兩個不相等的實數根．

,6= O 方程有兩個相等的實數根．

,6<O 方程沒有實數根． 判别式的應用

(1)

不解方程判定方程根的情況；

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