備考提綱指的是現階段應該掌握的立體幾何專題的知識點，并不是押題，今列出對應的題型和解題思路，供高一期末考試複習使用。

一.命題判斷類

這類問題考查學生對立體幾何中空間關系的綜合把握，通常情況下找反例即可，例如有的學生經常忽略直線在平面上的這種特殊情況，此類問題不建議作圖，因為按照題目中給出的未知真假的命題作圖時很容易判定命題正确，但這很可能隻是一種特殊情況，并不滿足一般性，所以在腦海中構造出對應的模型判斷真假即可。

二.立體幾何證明類

新教材中并沒有明确區分平行和垂直的判定定理和性質定理，因此有的學生會把性質定理當作判定定理使用，例如證明線面垂直，除了常規的線面垂直判定定理之外有個學生把線面垂直轉化為面面垂直，再證明這條直線是其中一個面上的直線且與交線垂直，這明顯是面面垂直的性質定理，這種證明方法不能說錯，但南轅北轍了。

平行和垂直的證明首先需要了解平面内常見的平行和垂直關系，從大的方向來看，證明平行可構造三角形或平行四邊形，構造三角形可利用中位線或相似三角形證明；證明垂直時注意題目中出現的線段長度是不是可利用勾股定理反推垂直關系，留意題目中出現的等腰或等邊三角形，留意題目中出現的存在垂直關系的四邊形，例如矩形，直角梯形，菱形等等，留意圓内直徑所對的圓周角。

從具體證明上來看，平行以線面平行為主，此時可直接找平行關系，若平行關系找不出可将直線補全成一個平面，通過面面平行反證線面平行；垂直的證明依舊以線面垂直為主，留意題目中除了上述直白的垂直關系之外還有沒有已知的線面垂直或面面垂直關系，線面垂直其實是線線垂直，若兩條線共面時很容易證明，若兩直線異面時可通過三垂線定理作預判。

給出三種高一較為常見的證明題模型：

第一種：圖示如下，ABCD為梯形,AB//CD且AB=2CD，以AB為邊作三角形PAB，若E為PA的中點，此時取PB的中點F，連接EF,ED,FC，則四邊形EFDC為平行四邊形；取AB的中點G，則四邊形AGCD也為平行四邊形。

第二種:圖示如下，這種題目很多，有的以矩形的形式給出，所要證明的隻是線面垂直或面面垂直中的一個條件，證明垂直時隻需說明三角形另外兩個角之和為90°即可，為此常見的證明方法有三種，第一根據全等證明角度相等，第二種根據相似證明角相等，第三根據正切值證明角相等，以下圖為例若證明∠DHE=90°，則∠HDE ∠DEH=90°,因為∠HDE ∠DBA=90°,隻需證∠DEH=∠DBA即可，若題目中存在明顯的直角，此時可利用正切值證tan∠DEH=tan∠DBA即可。

第三種:圖示如下：這種也是垂直證明中的一個步驟，若給出一個角為60°的菱形，如下圖中取AD的中點E，連接BE，則BE⊥AD

三.與平行垂直有關的存在性問題

這種題目是平行垂直證明的延伸，以下面兩題說明解法：

平面BEF為定平面，C為定點，D為PB上的動點，通常情況下并不能直接在PB上直接找出符合要求的D點，但可從定點C出發在PA上找一個定點M，使得CM//平面BEF，再從M點出發，在PB上找一點D滿足MD//平面BEF，簡言之就是要出現一條與平面BEF平行的定直線，再把定直線補全為與平面BEF平行的平面，平面與PB的交點即為所求D點。

第三問依舊從定點動點定平面入手，先找出符合要求的點F，再證明，若EF⊥平面PBC，則EF⊥平面PBC上的任意一條線，即EF⊥BC，注意到BC和EF為異面直線且BC在底面上，因此作EF在底面上的投影，若BC和投影垂直，則BC和EF垂直，通過投影即可确定出點F的位置。

四.異面直線的判定以及角度的求法

空間中兩條直線的關系有兩種，即共面和異面，若兩直線平行或相交，則直線共面，若不平行且不相交，則異面，但很多時候根據所給的條件并不能直接看出是否是相交關系，可将其中一條直線平移，平移的原則是平移之後兩條直線分别在存在交線的兩個平面上。

至于求異面直線所成角的餘弦值，平移是最通用的方法，即将兩直線平移到有一個公共定點，但有時在給出的幾何體中找不到，需要将平面延伸或将幾何體補全，例如：

除此之外還可使用投影法或三餘弦定理求異面直線所成角的餘弦值，知道最好，不知道也無所謂。

五.線面角所成的三角函數值，以正弦為例

求線面角，需要确定出對應的平面角，此時要求直線與平面相交存在交點，有的題目上是以線段的形式給出的，有可能線段與平面不存在交點，此時有兩種處理方法，延長直線或找一條與線段(直線)平行且與平面相交的直線。

常見題型為求線面角的正弦值，若從平面角來看，正弦值即為點到平面的距離與斜線長度的比值，一般情況下斜線長度已知，因此正弦值轉化為點到平面的距離，距離的求法有兩種思路，可幾何法作出點到平面的距離即高線，或用等體積法求高，而高一等體積法最為常用，如果所求為線面角的正切值，則極有可能平面角是直角三角形中的一個角。以下題為例：

以上圖A選項為例，求對應的線面角正弦值，由于平面斜放，從幾何的角度并不能輕易找到點C到平面AB1D的高，用等體積法VC-AB1D=VB1-ACD即可求出點C到平面AB1D的距離。

六.二面角的幾何作法

二面角的平面角或平面角的餘弦值有四種常用解法，第一為定義法，從交線上選一點，過這點在兩個平面内各作一條直線，且滿足直線與交線垂直，此時兩條線的夾角即為二面角，但這種方法很可能造成在平面内作出與交線垂直的直線後兩個垂足不重合，可再作平行線彌補；第二種為投影法，也是用的最多的一種方法，例如求P-AB-Q的二面角，可從P點作平面QAB的投影H，再從H作交線AB的直線，垂足為O，則∠POM即為所求二面角的平面角；第三為垂面法，即找一個與交線垂直的平面，這個平面與另外兩個平面所成的交線的夾角即為二面角的平面角；第四為投影面積法，以P-AB-Q為例，若P點在平面ABQ上的投影為P'，則△P'AB的面積與△PAB的面積之比即為二面角的餘弦值，這種方法是方法二的延伸。

高一數學中若以大題的形式考查二面角，則常用前兩種方法，相較之下第二種用到的場景更多，但前三種方法都需要交線，若所給兩個平面沒直接給出交線，則首先需要把交線找出來，找交線的方法有兩種，一是延伸平面使之存在交線，二是找一個與其中一個平面平行且與另外一個平面存在交線的平面，以下題為例：

B選項中兩平面并沒有直觀的交線，作與平面AB1D平行的平面EFC1,此時平面EFC1與平面A1B1C1的交線為C1F，從E點向A1B1C1作投影，投影為A1,從A1向交線C1F作垂線，垂足為F，則∠EFA1即為所求二面角的平面角。

有的時候題目中的二面角有明确的交線，利用投影法也很難确定出一點在平面上的投影位置，究其原因是三角形所在的平面太小了，投影點落在了三角形的外側，此時需要将平面延伸，至于如何延伸可通過平行四點共面法，有的時候補全為常見的幾何體也可以，例如下面的題目可補全為一個長方體，之後點A落在平面上的投影點就相對容易确定了。

七.高一常見幾何體切接球問題

若考查内切球，幾何體分兩種，在棱錐中用3V/S求内切球半徑，在圓錐中需要用等面積法求内切球半徑，内切不是高一常考内容。

外接球問題在高一中考查難度不大，多以補的方法處理，而補形法在高一中多以牆角模型出現，另外若PA⊥ABC，若ABC為直角三角形，則可補全為長方體，若ABC為一般三角形，則可補全為三棱柱，類似于高三數學中通過二面角求外接球半徑的題目很少出現，即便出現，所給的二面角也即為特殊，例如為90°的二面角。

八.幾何體體積的求法，以錐體為例

若以三棱錐為例，除了可直接利用底面積和高求體積之外，很多時候都需要用轉化法求錐體體積，這裡的轉化又分三種情況：

1.轉化點，轉化點又分兩種，第一種是不改變錐體的頂點，例如P-ABC和A-PBC的體積相同，第二種是改變錐體的頂點，例如若P-ABC的體積等于Q-ABC的體積，此時PQ與平面ABC有兩種關系，要麼PQ所在直線與平面ABC平行，要麼PQ與平面ABC相交且PQ的中點在平面上，根據以上兩種轉化可判斷一些動點定值問題

2.轉化面，找到與已知底面共面且面積相等的三角形，目的是使得錐體的高容易求，該方法在高一用的不多。

3.比例轉化法，即所求錐體與某個已知體積的錐體作對比，若高相同，則面積之比即為底面積之比，若底相同，則高之比即為體積之比，若高和底面積同時有比例關系，則兩者的比例共同決定體積的比例，這種方法在高三用的較多，上面的21題也可使用比例轉化法求體積。

九.與體積有關的存在性問題

這是一種錐體體積問題的延伸，伴随在某條線段上的動點，問存不存在動點使得體積為定值，求出三個定點組成三角形的面積，因為知道動點的軌迹，若能确定出動點所在的線段上到平面ABC距離最小和最大的兩個點E,F，此時可求出體積的範圍，若所求體積在該範圍之内，則存在這樣的動點，若所求體積不在該範圍之内，則不存在這樣的動點，若存在這樣的動點，可通過共底不共高，按照體積的比值确定出高的比值，進而确定出符合要求動點的位置。

除了以上九種之外還有一些其他難度不大的題型，就不再整理了。

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