“數”發展的曆史順序大體是：正整數、分數、無理數、負數、零、虛數（複數）。數在各個國家的發展不盡相同。

“數”發展的曆史順序大體是：正整數、分數、無理數、負數、零、虛數（複數）。數在各個國家的發展不盡相同。分數的産生在大多數民族都沒有發生困難，但無理數的産生在古希臘引發了第一次數學危機。中國是世界上對負數認識最早的國家，負數是在《九章算術》中首先出現的。但歐洲人承認負數卻在16世紀。

一. 無理數的發現

在“數”的發展史上，希臘的畢達哥拉斯學派發現了“無理數”。畢達哥拉斯學派基本的信條是“萬物皆數”。他們所說的數僅指整數，分數被看成兩個整數之比，他們相信任何量都可以表示成兩個整數之比。給定兩條線段一定有一個公共度量，也就是說，給定任何兩條線段，一定能找到第三條線段，也許很短，使得給定的線段都是這條線段的整數倍。由此可以得到結論，任何兩條線段的比都是整數的比，或者說，這個比是有理數。然而，畢達哥拉斯學派的成員希帕蘇斯（公元前470年左右）後來發現：并不是任意兩條線段都有一個公共度量，即給定單位線段，存在着不可公度的線段。

現在假設一個直角三角形的兩條直角邊的長度是1，那麼斜邊的長度是多少？根據勾股定理，我們知道斜邊等于√2，但是√2等于多少呢？它能否寫成兩個整數比的形式呢？答案是否定的，即沒有任何一個分數的平方為2，也就是說√2不是有理數。

定理 √2是無理數

首先，我們指出下面的簡單事實：

偶數的平方是偶數，奇數的平方是奇數；

如果一個數的平方是偶數，那麼這個數一定是偶數；

如果一個數的平方是奇數，那麼這個數一定是奇數；

證明（反證法） 假定定理的結論不成立：√2不是無理數，而是有理數，即√2=p/q。通過約分，我們一定可以使得p和q沒有公因數，這樣一來，p、q不會同時是偶數。∴p=√2q，平方得p^2=2q^2，∴p^2是偶數，從而p是偶數，設p=2r，這時上式變為4r^2=2q^2，即q^2=2r^2，得出q^2是偶數，從而q也是偶數，這與p、q不會同時是偶數相矛盾。因此假設不成立，即√2是無理數。

這個證明可以在歐幾裡德的《原本》中找到，實際上遠在歐幾裡德之前就已經有了證明。這是間接證明的一個最經典的例子。

二. 負數的引入

在生産實踐中，人們往往需要測量具有相反意義的量，例如海拔高度等，因此負數也就應運而生了。

我國公元3世紀的劉徽已經對負數有了深刻的認識。在《九章算術注》中，他認為“今兩算得失相反，要令正負以名之。”他還認為“言負者未必負于少，言正者未必正于多。”這兩句話都是關于正負數的絕對值而言的，即負數的絕對值未必小、正數的絕對值未必大。這種思想與現代的數學思想是完全一緻的。元朝的朱世傑在《算學啟蒙》（1299年）中第一次明确提出正負數的乘除法則，他指出“同名相乘為正，異名相乘為負。”

無論引入負數，還是引入無理數，都是數系擴充的重大步驟，也是人類對數系認識的重大進展。古希臘人是通過演繹思維發現了無理數，而中國古代的算學家則是通過算法思維引入了負數。

在7世紀，印度數學家也開始使用負數。負數通過阿拉伯人的著作傳入歐洲，但是，到了十六七世紀，歐洲的大多數數學家并不承認它是數，也不認為它是方程的根。一些數學家們甚至把負數稱為荒謬的數，例如，著名數學家巴斯卡認為，從0減去4純粹是胡說。

1629年，吉拉爾（1590-1633）出版了他的著作《代數新發現》。在這本書中，他明确主張：負數和正數具有同等的地位；負數可以作為方程的根。他還指出，負數是正數的相反數。直到這個時期，在歐洲的數學舞台上，負數終于獲得了一席之地。

三. 0的發現

人類很早發現了正整數、無理數、負數，但是，“0”的發現卻晚得多。“0”最早源自于人們表示的“沒有”，用一個空位來表示它，後來才逐漸地把它當成一個數來認識，這是一個漫長的過程。

在我國，戰國時期人們就用“空”表示“0”了，但沒有把“空”看作是一個單獨的數。

印度人起初也用空位表示“0”，後記成“點”，最後發展為“圈”。直到公元11世紀，包括有“0”的印度數碼和十進制記數法臻于成熟。特别是印度人不僅把“0”看作是記數法中的空位，而且也把它看作可施行運算的一個特殊的數。“0”的發明是印度對世界文明的傑出貢獻。

四. 虛數

前面講述的數都是由實際應用産生的，虛數（複數）則是由數學問題引入的。

印度數學家婆什迦羅（1114-1185）是第一個遇到“虛數”的人，他認為x^2=-1這個式子沒有意義，他說：“正數的平方是正數，負數的平方是正數，因此，一個正數的平方根有二：一正一負；負數沒有平方根，因為它不是一個數。”

又過了300年之後，生命之船駛進1484年，法國數學家舒開（1445-1500）在《算術三篇》中，讨論了解二次方程4 x^2=3x的問題，得到根x=3/2±√-7/4，由于-7/4是負數，負數要開平方，這是他從未見過的怪物，他立刻寫道：這根是不可能的。繼印度人之後，舒開成為在其數學著作中讨論這種數的第二人。很明顯，舒開已經撥響虛數概念的琴弦，卻又把弦弄斷了，推遲了虛數概念的降生。

61年後，第一個承認和認真讨論虛數的人是意大利數學家、怪傑卡爾丹（1501-1576）。他在《大法》中提出了一個問題：“兩數的和是10，積是40，求這兩個數。”他給出的運算方法用現代符号表示是這樣的，設一個數為x，另一個數為10-x，可列出方程x（10-x）=40，整理得x^2-10x 40=0。他得到兩個奇怪的根：x=5±√-15。卡爾丹心知肚明，一個負數要開平方是不允許的，但是在解方程中卻産生了這個事實，他無法解釋，負數的平方根是不是“數”，他十分為難，于是他在書上描述這個怪物說：“不管我的良心會受到多麼大的責備，事實上5＋√-15乘以5-√-15剛好是40！”于是他說：“算術就是這樣神妙地搞下去的，它的目标，正如常言所說，是又精緻又不中用的。”

1629年，荷蘭的吉拉爾在《代數新發明》中說：“有人可以說這些不可能的根（複數根）有什麼用？我回答：它有三方面的用處——一是它能滿足一般法則，二是它們有用，并且方程除此之外沒有别的解。”

笛卡爾也摒棄複根，并造出“虛數”這個詞。他在《幾何》中說：“真的和假的根并不總是實在的；它們有時是虛的。”他的實際論點是，負根可以通過變換方程而使之為正，但複根做不到，所以這些根不是實的而是虛的，它們不是數。

甚至連牛頓也不認為複根是有意義的，理由是它們缺乏物理意義。

對複數在很長一段時間内沒有正确的認識，這一狀況可以從萊布尼茨的一段話中看出：“聖靈在分析的奇觀中找到了超凡的顯示，這就是那個理想世界的征兆，那個介于存在與不存在之間的兩栖物，那個我們稱之為虛數的-1的平方根。”

複數為人們所接受的關鍵是複數及複數的代數運算獲得了幾何解釋。挪威出生的測量員韋塞爾（1745-1818）和瑞士人阿爾岡（1768-1822）分别給出了複數和複數的代數運算的幾何解釋。我們現在用的基本上是阿爾岡的方法。

在使人們接受複數方面，高斯作出了實質性的貢獻。在代數基本定理的幾個證明中他使用了複數，在數論中也使用了複數。在有關論文中，他闡述了複數的幾何加法和乘法，并指出，在這個幾何表示中，人們可以看出“複數的直觀意義已完全建立起來，并且不需要增加什麼就可以在算術領域中采用這些量。”這樣一來，幾何表示使人們對虛數有了一個全新的看法。高斯引進“複數”一詞代替虛數，這就是我們現在通用的術語。

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