三角形中線公式的推導
題：如圖，已知△ABC的三邊為a，b，c，求中線AD、BE、CF的長。
分析：根據題意，題目中隻有BD=DC=a/2這樣的條件，要想用a，b，c的代數式表示出AD，必須添加輔助線，其中作高AE是最佳的選擇。
解：作△ABC的高AE。
因為AD是中線，所以BD=DC=a/2，設DE=x，則CE=a/2-x。
在Rt△ADE、Rt△ABE、Rt△ACE中，由勾股定理，得
AD^2=AE^2 DE^2,
因為AE^2=AB^2-BE^2=AC^2-CE^2,
所以2AE^2=AB^2-BE^2 AC^2-CE^2
=AB^2 AC^2-(BD DE)^2-(DC-DE)^2
=c^2 b^2-(a/2 x)^2-(a/2 x)^2
= b^2 c^2-a^2/4-ax-x^2-a^2/4 ax-x^2
= b^2 c^2-a^2/2-2x^2，
所以2AD^2=2AE^2 2DE^2
= b^2 c^2-a^2/2-2x^2 2x^2
= b^2 c^2-a^2/2，
所以AD^2=( b^2 c^2-a^2/2)/2，
所以AD=1/2√[2(b^2 c^2)-a^2].
同理，BE=1/2√[2(c^2 a^2)-b^2].
CF= 1/2√[2(a^2 b^2)-c^2].
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