你聽說過極限嗎？你知道什麼是極限嗎？

你以為的極限弄不好隻是别人的起點——韓寒

容易受傷的小心髒

好啦！好啦！别鬥圖了，言歸正傳！

極限是高等數學中非常重要的概念，極限的思想貫穿高等數學始終。連續的定義、導數的定義、定積分的概念，還有無窮級數的斂散性等，都要用到極限的思想，因此可以說極限的思想是高等數學的靈魂。

知識關系圖

不僅如此，極限還是數學界的文藝青年，很多成語和詩文中都包含極限的思想，如"望穿秋水"、"大江東去浪濤盡"、"孤帆遠影碧空盡"等等。

“孤帆遠影碧空盡，唯見長江天際流”——李白

詩句中極限思想

李白的這句詩就是數學概念和文學意境的碰撞，詩的意境正好契合極限的概念。極限是對孤帆遠影的現實精确化、形式化的解釋。你可以想象一下：當朋友的小船在煙波浩渺的江面上越走越遠，直至消失在天際的盡頭，隻剩下滾滾的江水在天邊孤獨的奔流。整個過程正好體現了無限遠處的逼近是0，量變引起質變。

極限思想的萌芽

早在春秋戰國時期就出現了極限思想的萌芽，莊子在《莊子.天下篇》中記載

"一尺之錘，日取其半，萬世不竭——莊子"

這正是古人對極限的一種思考，同時也是“無窮小量”一個實例。

莊子

劉徽是我國古代魏晉時期偉大的數學家，中國古典數學理論的奠基人。他在數學方法和數學理論上作出了傑出的貢獻 。 他獨創性的提出了“ 割圓術 ”，即利用圓的内接正多邊形去逼近圓的面積， 他是這樣說的：

“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不割，則與圓周合體而無所失矣”

割圓術

劉徽的這句話包含了“用已知逼近未知 , 用近似逼近精确”的重要極限思想。利用上面的方法，他在計算了3072邊形的面積後，計算出了圓周率 π=3.1416.

多邊形面積逼近圓的面積

古希臘人的“窮竭法”也蘊含了極限思想，這種方法是由古希臘數學家歐多克斯提出，他用這種方法計算複雜幾何圖形的面積和體積，其思想和劉徽的割圓術具有異曲同工之妙。窮竭是極限思想的幾何先驅，也是定積分概念的雛形。

窮竭法計算複雜圖形面積

極限的概念

1、數列極限

定義 按一定次序排列的一列數

這一列數叫做數列，如果當n無限增大時，數列{xn}無限接近某個确定的常數A，則稱A為數列{xn}的極限。

數列的變化過程

由圖像可以看出數列變化的趨勢，可得此數列極限為0。

數列變化過程

這一題中數列的數在1的上下來回擺動，但變化趨勢是與1的距離越來越小，因此數列極限為1。

數列可以看作自變量為正整數的函數，隻有當n無限增大時，數列無限接近某個确定的常數A，才能說數列極限是存在的，此時數列收斂于A；否則若數列極限不存在，則稱該數列發散。

判斷數列極限是否存在，首先可以把數列的前幾項寫出來，這樣有助于我們發現數列變化的規律。當數列極限是無窮大及數列極限不唯一時，都稱數列是發散的。

2、函數的極限

函數的極限要比數列的極限複雜一些，從自變量的趨近方式上來看，自變量可以趨近無窮，也可以是某個常數。無論哪種趨近方式在語言上都可概括為兩個“無限接近”，即當自變量無限接近某個常數時（可以是∞），函數值無限接近某個确定的 常數A，則稱常數A為函數f(x)在這種趨近方式下的極限。

例 考察函數y=1/x，當x→∞時函數的變化趨勢。

反比例函數

由圖像可以看出

因此，可得

注 x→∞意味着同時考慮x→ ∞和x→-∞，隻有兩者都存在且相等時，才可以說 x→∞函數極限存在。

例 分别讨論x→ ∞、x→-∞和x→∞時，反正切函數y=arctanx的極限。

反正切函數

由圖像可以看出

因此，x→∞時，反正切函數y=arctanx的極限不存在。

3、極限的ε-δ定義

極限的定義可以概括為兩個“無限接近”，但從數學的角度，這種叙述是嚴格的。

德國數學家威爾斯特拉斯在為中學生授課時，為了讓自己的學生更好地理解微積分中最重要的極限概念，創造性的給出了極限的ε-δ，極大的促進了數學分析的精确化。至今本科階段的高等數學及數學分析教課書中一直都在沿用他給出的極限的ε-δ定義。

維爾斯特拉斯

ε-δ定義是從靜态的觀點出發，把變量解釋成一個字母（該字母表示某區間内的數），給出了嚴格定量的極限概念：

數列極限的ε-N定義：設有數列{an}，A有限的常數，若對任意ε>0，總存在正整數N，當n>N時，有|an-A|<ε，則稱數列{an}的極限為A。

函數極限的ε-δ定義：設函數 f(x) 在點 a 的某空心領域 U(a，δ′) 内有定義，A為有限闡述，若對任意的 ε>0，總存在某個正數δ(<δ′)，使得當0<|x-a|<δ時，都有|f(x)-A|<δ，則稱函數 f(x )當x→時極限存在，且以A為極限。

極限的ε-δ語言系統使用靜态的有限量刻畫動态的無限量，排除了微積分中的各種錯誤提法，建立了極限概念清晰而明确的定義，為分析嚴密華做出了不可磨滅的貢獻，為實分析和複分析打下了堅實的基礎。

極限應用舉例

例 有小兔一對，若第二個月它們成年，第三個月生下小兔一對，以後每月生産一對小兔。而所生小兔亦在第二個月成年，第三個月生産另一對小兔，以後亦每月生産小兔一對，試問一年後共有小兔幾對？以後每月的增長速度怎麼樣？

問題假設

1. 假定每産一對小兔必一雌一雄；

2. 均無死亡。

兔子繁殖示意圖

觀察一下數列之間有什麼樣的關系？

兔子數列

可以看到一年以後兔子的數量有233對。

以上數列正好滿足遞推關系：

這正是有名的斐波那契（Fibonacci）數列，即從第三項開始，每一項正好是前兩項之和。

Fibonacci數列的通項

與Fibonacci 數列緊密相關的一個重要極限

這正好是“黃金分割”，這說明在以上假設成立的條件下，多年後成年兔子與仔兔數量均以每月61.8%速度增長。

斐波那契數列與黃金分割

有關極限的應用的例子還有很多有趣的實例，如數的分杈、證券投資的艾略特“波浪理論”等，在後續文章中會逐漸呈現

結語

極限的思想貫穿高等數學始終，隻有徹底的搞懂極限的概念，能用極限的思想去思考問題、分析問題、解決問題，才能在高等數學今後的學習中不感到迷茫。極限的計算還有很多的技巧，比如利用極限和連續的關系直接帶入求極限；利用兩個重要極限求極限；利用等價無窮小替換求極限；利用洛必達法則求極限等等，有關極限的運算技巧會在後續文中更新，敬請期待！

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