sin對 cos說：“世界上最遙遠的距離，不是生與死的距離，而是在π/2那裡！” “三角學”，陌生或不陌生，它就在那裡！英文trigonometry，法文trigonométrie，德文 Trigonometria，都來自拉丁文trigonometria。原意是三角形的測量，目的是研究平面三角形和球面三角形的邊和角的關系，達到測量的目的。早期的三角學僅僅是天文學的一部分，後來研究範圍逐漸擴大，經過幾代人的努力，變成獨立的數學科目。現在，三角學的研究範圍已不限于三角形，成為數理分析的基礎和研究實用科學的必備工具。

　　為研究天文學，創立了三角學

　　衆所周知，古希臘時期的數學家多投身于平面幾何的研究，數學的靈魂是其美妙的邏輯性，比如以歐幾裡得一派最為典型。而天文學家更需要的是測量和算學，當時“天球”的理論比較盛行，也就是說宇宙中地球是中心，天上的太陽，月亮，星星，在地球的外面，它們都鑲嵌在巨大的球面上，而地球的就理所應當的充當了“球心”的位置。

　　地心說示意圖

　　地球或者其他天體總是會周期性的轉動，在運動過程中，總是需要知道天體相對于地球的弧長和角度的問題，在衆多天文學家之中，始終占據C位的，就是我們今天的主角之一，因為他的出現，“三角學”應運而生！

　　喜帕恰斯--三角學之父 Hipparchus（約公元前180年-公元前125年），希臘天文學家，數學家。此人名字甚多，據我所知，有希帕霍斯，喜帕恰斯，希巴克斯、依巴谷、伊巴谷等，一般來說在天文上多稱之為依巴谷，而數學上稱為喜帕恰斯。

　　身為天文學家，例行工作便是要仰望星空，那麼有一套好裝備是很必要的，咱們喜帕恰斯定是一個“強迫症”患者，觀象台的建造必須完美，結果是“強迫症”勝利了，他在愛琴海的羅得建立了觀象台，并且這些儀器沿用了1700多年，因為簡直太好用了！喜帕恰斯在這個觀象台做了一件後人難以望其項背的事情，就是測量地球和月亮的距離。測量方法是視差法。

　　我們先了解一下什麼是視差法？視差法是一種利用不同視點對同一物體的視差來測定距離的方法。

　　右眼觀察物體的視覺效果

　　左眼觀察物體的視覺效果

　　大家應該看過抗戰電視劇中的狙擊手測距離的方法，經常對着敵人點個贊（伸出一隻大拇指），然後距離就算出來了，狙擊手就準備射擊了。事實上，這就是利用了視差的計算方法。

　　電視劇中的視差法截圖

　　由于我們成年人兩瞳孔的間隔約為自己臂長的十分之一，這時候隻需要面對鬼子，伸出右手大拇處于兩眼之間，先閉上左眼，用右眼通過拇指的一側對準鬼子，然後閉上右眼，用左眼通過拇指同一側觀察，記住左眼視線對準的物體（比如一扇窗），估算出這個窗與鬼子之間的距離，然後乘以10，便是要測出的距離。

　　當然喜帕恰斯的觀測和計算方法要精準很多，他利用月亮視差測量地月距離，認為地月距離是地球直徑的三十倍，而之後的一千九百年間，月亮就是人們所知離地球有多遠的唯一天體，直到天文望遠鏡的發明，人們才直到第二顆星球與地球的距離。

　　有人會有疑問，視差法觀測人的時候總是其他的參照物（我們剛才說的一扇窗），那麼觀測月亮的時候如何找到“那扇窗”呢？當然有了，喜帕恰斯找的參照物是天上的星星。在适當的變化條件下，通過測量月亮相對于星星的位置，就能測定月亮的視差，并算出其距離，喜帕恰斯就是抓住了一次月食的機會，搞定了地月之間的距離。

　　我們在驚歎喜帕恰斯的驚人計算力的時候，不得不佩服他的好視力，沒有錯，喜帕恰斯的視力非常好，他認為《夜空中最亮的星》的歌詞是有問題的，因為夜空中最亮的星不是一顆，而一共有20顆，它們叫一等星，亮度次之的叫二等星，然後是三等星，四等星，五等星，肉眼剛剛可見的是六等星。這種星體的排列體系一直沿用到今天！

　　無論是計算距離時，還是計算“天球”運動時，球面上的圓心角對應的弦長是十分必要的，喜帕恰斯對球面上的角度和距離進行計算，制作了一個和現今三角函數表相仿的“弦表”，即在固定的圓内，不同的圓心角所對應的弦長（相當于現在圓心角一半的正弦線的兩倍）的表。對于一定度數的圓弧，可以得到相應弦的長度。雖然目前還沒有直接的文獻載有喜帕恰斯的“弦表”，但通過後人的資料記載，他已經算出了0°到90°之間，每隔半度的正弦值，并且傳說中在他的計算方法中，有三角函數半角公式的影子。

　　“三角學之父”的著作現如今均已失傳，但是在喜帕恰斯之後的300年，另一個人的出現，完美繼承和發揚了三角學，并且著作保留至今！他就是勞蒂烏斯·托勒密！

　　托勒密--發揚光大 希臘天文學家，數學家克勞蒂烏斯·托勒密（約100-170年），相信很多小朋友是由于“托勒密定理”才知曉這個人的，事實上，托勒密最享盛名的著作是《大成》，該書是古希臘天文學的光輝頂點，對宇宙模型給出了完整的數學描述，包括有太陽，月亮和行星的各種運動參數，它取代了這一課題的所有早期的著作。換句話說，如果我們穿越到古希臘時期，要想研究天文學，一本《大成》就夠了！

　　在三角函數上，托勒密繼承了喜帕恰斯的思路，創造出比喜帕恰斯的更完整的“弦表”。列出了從(1/2)°到180°，且以半度為間隔的弦表，并且找出了一種能在已算好的兩個值之間的插值方法。

　　擁有更科學，更詳盡的“弦表”，就可以在一定已知的條件下來解任意三角形。同時，托勒密創新的應用“托勒密定理”，應用該定理在解圓的内接四邊形的時候，能夠推出正弦和餘弦的和差角公式。

　　三角學的發展越來越豐富，三角形中的奧秘被挖掘的越來越深入，縱觀世界，由于信息不發達，全世界各地的對三角學都有所貢獻，比如印度地區的《阿耶波多曆數書》、《太陽的知識》；阿拉伯地區的巴塔尼與《星的科學》、比魯尼和《測影通論》、艾布·瓦法與《天文學大全》等等。

　　文藝複興以後，人類擺脫了中世紀束縛思想的精神枷鎖，一個新時代的到來，各方面科學文化都取得突破性進展，三角學也不例外，發展成相當成熟的獨立科目。但是三角函數公式卻是雜亂無章的，這時候我們期待下一個天才的出現，16世紀中葉，他出生了，他的名字在中學數學課堂上翻來覆去被提到，是學霸心中的“神器”，是學渣心中的“魔鬼”，他就是韋達！

　　韋達--三角公式集大成者 弗朗索瓦·韋達（1540-1603年），法國數學家，被譽為“代數學之父”。在我國，無論您的數學考多少分，您都必須要知道“韋達定理”，這簡直是二次方程的神器。韋達就是這樣在我國被家喻戶曉的，韋達簡直要成了“方程”的代言人。

　　相傳，在比利時有位數學家叫羅芒烏斯，他在《數學思想》一書中有一個變态的方程求根問題，用現代的符号寫出來就是：

　　比利時的大使曾向法國國王亨利四世“嘚瑟”，這麼難的問題你們國家有能能解麼？

　　于是亨利四世召來了韋達，讓他解決這個問題，滅對方之威風！韋達看出該方程的解依賴sin45θ和sinθ之間的關系，心想：“在方程的背景音樂下，我還沒輸過”，憑着優秀的數學直覺，2分鐘後解出了2個根，之後又解出了21個根。導緻比利時大使裝X失敗！

　　韋達在代數上最偉大的成就應該是引進了系統的“符号”，也可以被稱為“符号大師”，今天我們不談韋達其他方面的貢獻，隻談三角學。

　　韋達第一個在平面三角和球面三角中使用了 6 個三角函數，即我們今天的sin，cos，tan，cot，sec，csc。除了總前人的成果外，還補充了自己發現的新公式。

　　他将這些公式總結在一個總表中，記錄在《應用于三角形的數學定理》的第二部分。對于斜三角形，韋達效仿古人，将其化為直角三角形解決。對于球面三角形，韋達給出計算公式及記憶法則，比如著名的餘弦定理：a²=b² c²-2bccosA。之後韋達又得到多倍角公式。韋達堅信：“沒有解決不了的問題”，這句話永遠激勵着人們奮發向上，去探索數學未知的高峰。

　　至此，三角學從天文學中徹底分離出來，成為數學的一個分支，并獨立發展。

　　歐拉--三角學分析化 每每提到數學的大事件，永遠都有歐拉的身影。這一次，不僅歐拉，近代數學的大牛們紛紛登場。17世紀，一個響亮的數學名詞登上曆史舞台，并在之後的二百年裡，它在幾乎所有的數學問題中均占中心位置，無出其右，它就是“函數”。

　　各種三角函數是起源于圓周運動，相互之間密切配合的周期函數，它們是解析幾何學和周期函數的分析學中最為基本和重要的函數；牛頓和萊布尼茨給出了三角函數的級數展開式。約翰·伯努利在和差公式的基礎上推導了解析三角的一般恒等式。

　　歐拉在《無窮小分析引論》中把三角學作為一門關于三角函數的科學進行了研究，對三角學作解析的叙述，從不多的幾個基本公式推導出全部三角公式。他引入了弧度制，從而使角和實數一一對應，計算大為簡化。如果令圓的半徑等于1，那麼半圓周的長就是π，所對圓心角的正弦值是0，即sinπ=0 ；1/4圓的周長是π/2，所對圓心角的正弦值等于1，即sinπ/2=1。

　　歐拉的《無窮小分析引論》是一部劃時代的著作，即使隻針對三角學來說也是封神之作。它使三角學從靜态的隻是研究三角形解法的狹隘天地中解放出來，三角學可以去描述現實世界中一切能用三角函數反映的運動或變化，從而使三角學成為一門具有現代特征的分析學的分支。

　　（圖片來源網絡，侵删）

　　[1] 肖柏榮，周煥山.數學史與數學方法論[M].成都：成都科技大學出版社，1996.

　　[2] 胡作玄.近代數學史[M].濟南：山東教育出版社，2006

　　[3]Eli Maor.Trigonometric Delights . Princeton University Press .1998.6

　　[4]吳文俊主編.世界著名科學家傳記（數學家Ⅱ）.科學出版社.1992.193

　　[5] Victor J.Katz.李文林.鄒建成.胥鳴偉等譯.數學史通論（第 2 版）.高等教育出版社.2004.

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