關于幾何題輔助線的構成如何思考-tft每日頭條

關于幾何題輔助線的構成如何思考

圖文更新时间:2024-09-09 13:16:51

　　這是從網絡上看到的一道幾何題，感覺還是挺有代表性的一道題。這道題我繪制了五條輔助線，構造了等邊三角形、一對全等的等腰三角形和一組3個全等的等腰三角形才搞定。我估計各位數學高手們應該會有更高效簡潔的方法。現在先把我的證法分享給各位，以期收到抛磚引玉的效果。

　　圖1是這道題的内容：

　　關于幾何題輔助線的構成如何思考（我畫了五條輔助線才搞定）(1)

　　圖1：題目内容

　　這道題與我最早分享的一道題非常像，但是略有變化。題目上這一點小小的變化對證明方法的影響非常大。

　　由于∠ABC = ∠ACB = 50°，∠PAB = ∠PBA = 10°，一個比較容易讓人聯想到的就是等邊三角形。因此，我就首先嘗試了這個方法。我先按圖2所示的方法，将△APB旋轉80度到以AC為底邊的位置。這樣構造一個新的等腰三角形，并恰好可以構造一個等邊三角形：

　　關于幾何題輔助線的構成如何思考（我畫了五條輔助線才搞定）(2)

　　圖2：構造等邊三角形

　　等邊三角形構造好後，我們可以發現ADE恰好構成了底角平分∠PAD的等腰三角形。這樣，我們就可以構造一組全等的等腰三角形了，如圖3所示：

　　關于幾何題輔助線的構成如何思考（我畫了五條輔助線才搞定）(3)

　　圖3：基于∠PAD構造全等的等腰三角形

　　構造好了全等的△PAE 和 △DAE後，我們還可以發現△PBE 實際也與△PAE 、 △DAE全等，而且△PEC也是等腰三角形。這樣我們就可以通過等分∠PEB計算出∠PCB的值了。如圖4所示：

　　關于幾何題輔助線的構成如何思考（我畫了五條輔助線才搞定）(4)

　　圖4：完成證明

　　這個證明過程還是非常有趣的，不僅利用了等腰三角形的角度相等特性來進行角度計算，還利用了全等三角形，等邊三角形的特性來計算角度，可以算是一道非常典型的角度計算問題了。我這個計算過程可能不是最簡潔的，如果你有更好的方法，歡迎指教哦。

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