“兔子數列”是這樣的一個數列：

　　｛1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377、610、987、1597、2584、4181、6765、10946、17711、28657、46368、75025、121393、196418、317811、514229、832040、1346269、2178309、3524578、5702887、9227465、14930352、24157817、39088169、63245986、102334155、165580141、267914296、433494437、701408733、1134903170、1836311903、2971215073、4807526976、7778742049、12586269025、20365011074、32951280099、53316291173、86267571272、……｝

　　（此處具體羅列了前54項的值）

　　這個數列從第3項開始，每一項都等于前兩項之和。

　　“兔子數列”因意大利數學家列昂納多·斐波那契（Leonardo Fibonacci，1170～1250，籍貫比薩）以兔子繁殖的例子引入而得名，也稱為斐波那契數列、黃金分割數列。

　　列昂納多·斐波那契

　　“兔子繁殖的例子”如下：

　　“

　　一般而言，兔子在出生兩個月後，就有繁殖能力，一對兔子每個月能生出一對小兔子來。如果所有兔子都不死，那麼一年以後可以繁殖多少對兔子？

　　”

　　更多詳情請參閱：百度百科《斐波那契數列》

　　本文的重點在于詳細表達“兔子數列”通項公式的推理、計算過程，以期在數學思想、數學方法上有所收獲。

　　（一）為什麼要求數列的通項公式？ 數列不是一堆雜亂無章的數的随便羅列，而是一組（有限或無窮）有規律的數。這種“規律”的一個表現是：數列的任意一項都是可以通過确定的規則計算求得的。“兔子數列”的規律被描述為：“第1項是1，第2項是1，從第3項開始，每一項都等于前兩項之和”。根據這個“規律”，可以計算得出任意一項的值，但是，每次的計算都基于“前兩項已知”，或者說“總要從第1、2項開始逐次遞推”。假設要求得第100項是多少，則要遞推98次，這似乎很煩。“通項公式”正是為了尋找一種直接根據“項數”計算該項“數列元素值”的方法，具有相當的優越性。每一個學習數列的人，面對“通項公式”，總是欲罷不能。

　　（二）符号約定 本文以：

　　｛c1、c2、c3、c4、c5、c6、……、cn、……｝

　　表示“兔子數列”，c表示數列中的元素，下标1、2、3、……、n、……表示數列元素的序号或項數（取值範圍是非0自然數：N*或N ），合并起來，cn表示第n項的數列元素值。

　　整個數列簡記為：{cn}

　　（三）什麼是通項公式？ 通項公式是這樣的一個函數：

　　cn=F(n)

　　表示直接由項數n∈N*求得數列的對應項元素cn，計算規則由F确定。至于F具體是什麼，則是下文的主要目标。

　　如果将n值逐項代入，“兔子數列”重新表達為：

　　｛F(1)、F(2)、F(3)、F(4)、F(5)、F(6)、……、F(n)、……｝

　　其中：F(1)=1、F(2)=1, F(n)= F(n-1) F(n-2)(n≥3，n∈N*)。

　　整個數列簡記為：{F(n)}

　　（有時候，我覺得這種“數學符号的表達方法”也是同樣基礎而重要的數學知識，本文并無原創性的數學知識和方法，隻好在“細節探索”和“科普”上發力，這種啰哩巴嗦的符号叙述可能更能體現這一行文主旨）

　　（四）基礎數列 等和（差、積、比）數列：從第二項起，每一項與它的前一項的和（差、積、比值）等于同一個常數的數列，這個常數叫做等和（差、積、比）數列的公和（差、積、比）。

　　等差數列：首項a1，不定項an，通項公式an=a1 (n-1)×d，其中d為公差；

　　等比數列：首項a1，不定項an，通項公式an=a1×q^(n-1)，其中q為公比。

　　等和數列、等積數列：均為循環數列或擺動數列，沒有研究價值。

　　（五）“兔子數列”通項公式的求解難點 “兔子數列”既非等差數列，也非等比數列，更非循環數列。直接套用“基礎數列”求通項的方法是行不通的。

　　（六）核心思路：分拆“兔子數列” 讓人感歎“數學大牛”們腦洞大開的是，他們是如何找到“求解思路”的，至今我仍有疑惑。這個思路是：分拆“兔子數列”。

　　容易驗證：兩個等差數列的合并（對應項做加法或減法）仍舊是一個等差數列，兩個等比數列的合并不一定還是等比數列，除非這兩個等比數列的公比相等，即：q1=q2。

　　我們打算把“兔子數列”分拆成兩個公比不相等（q1≠q2）的等比數列的對應項的和。

　　（重要程度★★★★★）

　　一個等比數列由首項和公比唯一确定，設這兩個公比不相等（q1≠q2）的等比數列分别是：

　　{an}={a、a×q1、a×q1^2、……、a×q1^(n-1)、……}

　　{bn}={b、b×q2、b×q2^2、……、b×q2^(n-1)、……}

　　令：{cn}={an} {bn}={an bn}

　　則：{cn}={a b、a×q1 b×q2、a×q1^2 b×q2^2、……、a×q1^(n-1) b×q2^(n-1)、……}

　　=｛F(1)、F(2)、F(3)、……、F(n)、……｝

　　根據已知條件有：

　　F(1)=a b=1 方程①

　　F(2)=a×q1 b×q2=1 方程②

　　F(n)=a×q1^(n-1) b×q2^(n-1) 通項公式

　　接下來，隻需要具體求出兩個首項：a、b，兩個公比：q1、q2，便可得到“兔子數列”具體的通項表達式F(n)。

　　（七）關鍵條件：求解公比q1、q2 “兔子數列”的關鍵條件是：F(n)= F(n-1) F(n-2)(n≥3，n∈N*)。

　　如果等比數列{an}、{bn}均滿足這個關鍵條件，即有：

　　a×q1^(n-1)=a×q1^(n-2) a×q1^(n-3) 方程③

　　b×q2^(n-1)=b×q2^(n-2) b×q2^(n-3) 方程④

　　則：

　　{cn}={an bn}也滿足上述關鍵條件，即：

　　a×q1^(n-1) b×q2^(n-1)=a×q1^(n-2) b×q2^(n-2) a×q1^(n-3) b×q2^(n-3)

　　隻需将方程③④左右兩邊對應相加即可驗證。

　　化簡方程③④得：

　　q1^2=q1 1

　　q2^2=q2 1

　　這是兩個同解方程，等價于：

　　q^2=q 1 方程⑤

　　（重要程度★★★★★）

　　解得：

　　公比：q1、q2

　　（八）勢如破竹：求解首項a、b 解方程①②聯立的方程組：

　　a b=1

　　a×q1 b×q2=1

　　得：

　　首項：a、b

　　（九）大功告成：代入求解F(n) F(n)=a×q1^(n-1) b×q2^(n-1)

　　代入a、b、q1、q2，求解并化簡得：

　　“兔子數列”通項公式

　　百轉千回，終于破解了萦繞心頭多年的疑問。這個通項公式讓我們看到：一個自然數數列，它的通項公式居然要用“無理數”來表達，不得不令人啧啧稱奇。

　　再會。

　　,

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