最近有抖音主播在科普視頻上給大家解釋了一個簡單的問題，1為什麼不是素數，視頻中博主打了個埋伏，說很多人認為這就是規定的，就這麼定的，就像自然數的定義一樣，然後，話鋒一轉說，其實1不是質數的原因是為了保證在質數分解時得到分解形式的唯一性。

1為什麼不是質數

質數分解是指任何一個合數都可以分解為若幹個質數相乘，比如，4=2*2表示4可以分解為2個質數2相乘；6 = 2*3表示6可以分解為質數2和質數3相乘； 8 = 2*2*2表示8可以分解為3個質數2相乘。

而唯一分解定理告訴我們，對于一個給定的合數，比如8， 他分解形式是唯一的，也就是說，我們不能再找出另外一種形式來分解8，比如，8=a*b*c，a，b，c是其它的、不是2的質數，這種情況不可能存在的事情。8分解為質數相乘的形式，隻有1中，就是2*2*2。

先不說這個唯一分解定理如何證明。如果1是質數，那麼這個質數分解就不唯一了。

為什麼，因為，如果1是質數，那麼8就可以分解為2*2*2*1*1*1，也可以分解為2*2*2*1，這樣，不同的形式都能滿足分解的要求，唯一性就不能得到保證了。因此，為了讓質數分解的形式保持唯一性，我們不能讓1成為質數。

質數分解的唯一性

這個說法靠譜嗎？我們說這樣的解釋也不能說不對，至少，如果1是質數了，質數分解形式也的确不唯一了。但是，1不是質數，不僅僅是因為要保持質數分解唯一性，我們還有其他的要求。而且，實際上，即便1是煮熟，我們還是可以保證質數分解形式的唯一性，。

比如，我們如果強行規定1為質數，質數分解唯一性定理隻需要改變一點就可以保證了，也就是：

任何一個合數都可以分解為唯一一組不包括1的質數的相乘形式。

這樣，質數分解唯一性依然沒有問題，我們隻需要把1排除在定理外就可以了，因為質數分解唯一性是一個定理，而非公理。

但與此同時，如果1是質數，很多與質數有關的定理也都需要把1排除在外，從而增加不必要的麻煩。因此，當代科學家普遍接受了把1排除在質數集合之外的決定，主要還是因為引入了1後，很多定理還是需要增加一些先決條件。

那麼，1 到底為什麼不是質數呢？是因為要保證質數分解唯一性嗎？是不是還有其他的原因呢？我們需要從質數的定義再看一看，就可以知道為什麼1不能是質數了。

我們都知道，質數的定義式：除了1和作自身外，不能被其他數整除的、大于1的自然數叫做質數。

根據這個定義，我們知道1就是自身，而1除以1得1，因此，1既可以被1整除，也可以被自身整除，除此之外再也沒有其他的數能整除1了。

因此，如果不限定大于1這個條件，原則上1也是符合質數定義的。這就意味着，如果我們不限定大于1的話，似乎也是可以的，讓1進入質數序列似乎也沒有什麼問題。比如，我們把質數分解的定理改一下，把1排除在因子之外就可以了，但其實還不能這麼簡單地處理。

我們發現，當我們對1進行質數分解時，我們卻得到了無窮多種分解方法，1=1， 1=1*1；1=1*1*1*1*1；這樣的形式可以有無數多種，這就帶來的一個新的問題，1到底是合數還是質數？

如果1是質數，意味着存在一個質數可以分解為多個質數相乘的形式，而我們知道，質數的一個核心特點就是隻能分解成自身和1的乘積的形式。如果有多個因子，那麼就是合數了。

比如8，就有3個質數因子，8=1*1*1；而如果1也是質數，1 = 1*1*1，也可以分解為3個質數乘積的形式，那麼合數8與質數1到底有什麼性質上的區别，這就成了一個問題。

我們都知道合數是可以分解為多個質數相乘的形式，那麼1似乎也符合了合數的特征，因此，如果我們讓1進入質數的序列，那麼合數的質數分解的性質就需要重新考慮和定義了，因為有一個質數1也可以分解為多個質數相乘的形式。

換句話說，當我們讓1成為質數的時候，1同時也具有了合數的一些性質。這就是我們必須要把1排除在質數之外，這樣1既不是質數，同時，也不是合數了。

黎曼猜想怎麼辦？

1如果成為質數，還會帶來另外一個比較重要的問題，我們知道黎曼猜想中的Zeta函數等價為一組質數的倒數的乘積，如果1也是質數，那就存在了一個1/(1-1)的項，0作為分母，這讓問題變得無法解決。因此，黎曼也不會希望1是質數。

總得來說，初看起來，1作為質數也不是不行，早期數學家很多認為1也是質數，隻是到了近代，随着數論研究深入，才發現1如果是質數會引起很多深刻的數學問題和困擾，不僅僅是分解唯一性的問題，比如，1還不能是合數，也是因為類似的問題。

因此，最終，我們把1作為一個特殊的自然數保存了起來，它既不是質數，也不是合數。

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