建立模型

如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD ∠BCD=180°，點E、F分别是邊BC、CD上的點，且∠EAF=1/2∠BAD.求證：EF=BE DF.

分析：要證明一條線段等于兩條線段的和，我們首先想到的是"截長補短"添加輔助線.如下圖，在線段EF上截取EG=EB.

如果能證明線段GF=DF，則結論得證.而要證明兩條線段相等，且兩條線段不在同一個三角形中，可以嘗試利用全等.即證明△ABE≌△AGE.通過嘗試，我們發現很難證明這兩個三角形全等，所以"截長"無法得到我們想要的結果.再試一試“補短”，延長CD至點G，使DG=EB.如下圖：

此時若能證明FG=FE，則FE=FG=FD DG=FD BE.結論得證.

而要證明FE=FG，隻需證明△AEF≌AGF即可.

證明：延長FD至點G，使DG=BE.易證△ABE≌△ADG（SAS），

∴AE=AG，∠BAE=∠DAG.

∴∠EAF=1/2∠BAD=∠BAE ∠FAD=∠DAG ∠FAD=∠GAF

又∵AF=AF，∴△EAF≌△GAF.∴EF=GF=DF DG=DF BE

反思：1、本題中的輔助線：延長DG=BE，也可以通過旋轉來實現（實際上就是将三角形ABE繞點A逆時針旋轉∠BAD的度數）.需要指出的是，如果用旋轉，需說明C、D、G三點共線（證明∠ADG ∠ADC=180°即可）.

2、題中有三個非常重要的元素：（1）∠EAF=1/2∠BAD（半角模型名稱的由來）；（2）AB=AD. 共端點的兩條線段相等，這點尤為關鍵，它為下一步的旋轉提供了條件.當題中出現一個角等于另一角的一半，且共端點的線段相等時，常采用旋轉，将分散的條件集中起來，為下一步的證明做好鋪墊. （3）對角互補.由于對角互補的存在，通過旋轉，兩邊的兩個三角形可拼成一個大三角形，進而可證明三角形全等.

一、半角結構之90°與45°

先來看一道題目：

如圖，在正方形ABCD中，點E，F分别在BC，CD上，∠EAF=45°.求證：EF=BE DF.

證明：

證明：∵四邊形ABCD是正方形

∴AB=AD且∠ABE ∠ADF=180°

将△ABE繞點A逆時針旋轉90°得到△ADG，此時點C、D、G三點共線.

∴∠BAE=∠DAG，AE=AG. ∵∠EAF=45° ∴∠BAE ∠DAF=∠DAG ∠DAF=∠GAF=45°

∴∠EAF=∠GAF. 又∵AF=AF.

∴△EAF≌△GAF.

∴EF=GF=DF DG=DF BE.

模型應用1：

如圖，在正方形ABCD中，點E，F分别在邊BC，CD上，∠EAF=45°.BE=2cm,

DF=3cm.求正方形的邊長.

分析：根據上題的結論可知EF=BE DF=5.

設正方形的邊長為x，那麼CE=x-2，CF=x-3.

在Rt△CEF中，根據勾股定理得，CE^2 CF^2=EF^2，

即(x-2)^2 (x-3)^2=5^2，解得，x=6.

所以正方形的邊長為6

以上的半角結構主要發生在四邊形中，再次回顧半角結構中的重要元素：（1）半角 （2）鄰邊相等 （3）對角互補. 半角模型中經常通過旋轉将分散的條件集中起來，進而通過三角形的全等進行證明.

在三角形中同樣存在半角模型，下面以一道題為例來說明三角形中的半角模型.

如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC.點D，E是BC邊上兩點且∠DAE=45°

求證：BD^2 CE^2=DE^2

分析：看到這個結論，相信大部分同學首先想到的是勾股定理，但DE,BD,CE不在同一個三角形中.所以要想辦法将他們集中在一個三角形裡面，根據題中條件AB=AC，共端點的兩條線段相等，可以嘗試旋轉.

證明：因為AB=AC，且∠BAC=90°.将△ABD繞點A逆時針旋轉90°得到△ACG，連接EG. 如下圖：

由旋轉的性質可知，△ABD≌△ACG.

∴AD=AG，∠BAD=∠CAG，∠ABD=∠ACG=45°.

∵∠DAE=45°，

∴∠BAD ∠EAC=∠CAG ∠EAC=45°

∴∠DAE=∠GAE

∴△DAE≌△GAE(SAS)

∴DE=GE

在Rt△GCE中

CE^2 CG^2=GE^2

∵BD=CG，DE=CG

∴BD^2 CE^2=DE^2

反思：對于本題，我們通過旋轉将分散的條件集中起來，進而得到結論。觀察證明過程我們可以發現△AEG其實也可以看作是将△AED沿AE折疊的結果.于是我們思考本題能不能通過折疊進行解決呢？

如圖，将△ABD沿AD折疊，使點B落在點F處，連接EF.先證明△ACE≌△AFE，再證明△DFG為直角三角形，勾股定理即可得出結論.

模型拓展1：

如圖，在正方形ABCD中，點E、F分别在邊CD、BC的延長線上，且∠FAE=45°.試探究EF、BE、DF之間的數量關系，并證明.

分析：根據前面的證明我們知道，當∠EAF在正方形内部時，EF=BE DF.觀察圖形可以發現，顯然在本題中線段BE的長度大于線段EF的長度，所以EF=BE DF不可能成立.是否可能是EF=BE-DF呢？不妨一試.根據上題積累的經驗，特别是題中有AB=AD這一條件，為旋轉埋下了伏筆.所以可将△ADF進行旋轉.如下圖：

證明：因為AB=AD，∠ADE=∠ABG=90°，

将△ADF繞點A順時針旋轉90°，得到△ABG.

由旋轉的性質可知，∠FAG=∠DAB=90°，又因為∠FAE=45°，所以∠GAE=45°..

所以∠FAE=∠GAE. 又AF=AG，AE=AE

所以△FAE≌△GAE

所以EF=EG=BE-BG=BE-DF.

反思：對于結論探索性問題，一般采用的方法是：觀察、測量、猜想、證明.先通過觀察，對各個量之間的關系有大緻的想法，在通過測量驗證自己的想法，結合測量猜想結論，最後通過一步一步有理有據的推理得出結論.當然，測量和猜想的先後順序也可以調換，即先猜想結論，在通過測量進行驗證，進而證明其正确性.

模型拓展2：

如圖，在正方形ABCD中，點E，F分别是邊BC，CD上的動點（不與B，C，D重合），且∠EAF=45°.對角線BD分别和AE、AF交于點M，N.連接NE.

求證：△ANE是等腰直角三角形.

證明：在△AMN和△BME中

∠MAN=∠MBE=45°

∠AMN=∠BME（對頂角相等）

∴△AMN∽△BME

所以AM:BM=MN:ME

又∵∠AMB=∠EMN

∴△ABM∽△NME

∴∠ABM=∠NEM=45°

又∠EAM=45°，所以∠ANE=180°-45°-45°=90°

∴△ANE是等腰直角三角形.

反思：1、解決本題的關鍵是發現題中的蝶形相似.即由△AMN∽△BME推出△ABM∽△NME.（見下圖）

2、連接MF，則△AMF也是等腰直角三角形；

3、題中還能得到哪些結論？請你試着寫出來，并證明.

二、半角模型之120°與60°

例1、如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°.點D、E是BC邊上兩點，且∠DAE=60°.若BD=5，CE=8.求DE的長度.

分析：根據題中已知，∠DAE=1/2∠BAC，且AB=AC.這是一個典型的角含半角結構，将△ABD逆時針旋轉120°可使AB和AC重合，從而将題中分散的條件集中起來.如下圖：

模型應用2：

小結：半角結構在中考數學中經常出現，熟練掌握對解題大有裨益.其組成元素有：

（1）角含半角

（2）鄰邊相等，為旋轉提供條件

（3）對角互補（限于四邊形中).半角結構最常用的解決方法是旋轉。

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