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小石頭/編

點是人們對于位置的抽象，由點組成的集合稱為點集，具有一定性質的點集稱為空間。

點并不一定是三維空間中的點，例如：和尚脖子上的佛珠、幾何作業本上的墨滴、夜幕中那閃閃發光的群星、飯碗裡的米粒、視線的焦點、...，也可以是時間上的點，例如：鐘表的滴答、情人的心跳、...，還可以是思維裡的點，例如：出個點子、痛點、笑點、愛的浪花、小提琴的音符、...，點甚至可以不是點狀，例如：牆上的磚頭、書頁、光線、旋律、回憶、...，因此空間就更是 五花八門了，例如：星空、愛的海洋、扭曲的四維時空、肖邦的月光、一杯牛奶、一塊面包、一場夢、... 。

最初的點集 X，除了能确定，任意一個點 x 屬于X，記為 x ∈ X，或 不屬于 X，記為 x ∉ X，外，其它啥樣啥也做不了。可是點畢竟是位置的抽象！人類之所以能 區分三維空間中的位置，就是因為 可以估算不同位置之間的距離，因此 若要讓點扮演好代表位置的角色，就必須在點集上加入定距能力，我們稱具有 定距 能力的 點集 為 度量空間。

那麼如何讓點集 定距 呢？

我們先來分析一下 距離的性質。通過生活實踐以及《物理學》訓練，我們其實已經在直覺上接受了距離這個概念。提到距離，大家就會想到它有如下這些特性：

• 距離是一個 實數；
• 距離沒有方向，不能為負數；
• 從 x 到 y 的距離 等于 從 y 到 x 的距離；

對于點 X 中的 任意兩點 x, y ，我們 用 d(x, y) 表示 它們之間的距離。将全體實數記為 ℝ，上面根據特性1， d(x, y) ∈ ℝ，而 x, y ∈ X，可見 d 是 X 上的 二元函數，記為：

由特性2 知 d(x, y) ≥ 0。當d(x, y)=0 時，x 和 y 就是同一位置，于是 x = y，反之依然。

特性3 就是 d(x, y) = d(y, x)，這說明 距離 具有 對稱性。

對于三角形來說，其邊長就是頂點之間的距離，現在問：任意兩邊之和 與 第三邊 之間的 大小關系 是什麼？

假設， 對于任意三角形，兩邊之和 小于 第三邊，則 對于上圖有，

a b < c

e c₁ < a，e c₂ < b

根據 特性1 和 2，我們知道 a，b， c 和 e 都是 正實數，于是按照實數的代數運算規則，有，

e e c = e c₁ e c₂ < a b < c

進而，

e ≤ 2e = e e c - c < c - c = 0

即，

d(y, w) = e < 0

這顯然與 特性2 矛盾。

故，假設不成了，隻能是：對于任意三角形，兩邊之和 大于等于 第三邊。

有了以上分析，我們可以正式給 點集 定距了：對于任意點集 X，若 其上的二元函數 d: X × X → ℝ , 滿足，

• 正定性：d(x, y) ≥ 0 并且 d(x, y) 當且僅當 x = y；
• 對稱性： d(x, y) = d(y, x)；
• 三角不等式：d(x, y) d(y, z) ≥ d(x, z)；

則稱 d 為 X 上的 距離（函數）。

佛曰：“一花一世界，一葉一菩提”，這說的是：花與葉盡管是真實世界中的一部分，但是它們依然可以自成一界。比對，度量空間 X，考慮 其中的任意非空子集 A（記為 A ⊆ X），首先A是一個點集，其次，X 上定義的 距離 d 對于 A 中的點 同樣适用，因此上，A 也是一個 度量空間，叫做 X 的 子空間。就真實世界來說，其中的任何物體，都它的一個子空間。

接下來，我們将進一步研究 度量空間，這就需要 能看清楚 更多細節。在 現實中，人類借助 顯微鏡 來觀察 微觀世界， 受此啟發，我們 也可以在 度量空間 中造一個 “顯微鏡” 來觀察 每個點周圍的 局部空間。

回想中學《生物》課上，我們對顯微鏡的使用：

• 首先，将鏡頭焦點對準玻片 X 上的一個點 a，這樣在目鏡中就能看清楚 焦點 a 周圍半徑為 ε 内的點；

• 然後，切換不同放大倍率的物鏡，随着放大倍率變化，ε的值也跟着變化。目鏡中 我們總是可以看到 X 的局部，所以 ε始終大于0，而 放大倍率增加 ε減小，放大倍率減小ε增加，于是 1/ε 就是 放大倍率；
• 最後，還會移動焦點的位置，以看清其它點周圍的狀況；

于是，在度量空間，可定義 顯微鏡 為：

稱為 a 點的 一個半徑為 ε 的 開球。

開球 B(a, ε) 就是 顯微鏡目鏡中看到的全部點，其中 a 是焦點，1/ε 是 放大倍率。這樣以來，我們就可以通過改變a 和 ε，來在不同 微觀等級上 觀察 整個 度量空間 了。

一般的點集，屬于其的點，是無差别的，可是對于 子空間 則不同。一個蘋果，同樣是屬于蘋果的點，有些點我們可以看到，有些不能。可以看到的點是蘋果的表皮，而看不見的點是蘋果的果肉。

當我們用顯微鏡去觀察蘋果時，有，

• 若 焦距 a 對準 果肉，則 通過 不斷增加 放大倍率 1/ε ，總會有一個時刻，目鏡中全都是蘋果；
• 若 焦距 a 對準 果皮，則 無論如何調節 放大倍率 1/ε，目鏡中始終一部分是蘋果、一部分是蘋果之外；
• 若 焦距 a 對準 蘋果之外，則 通過 不斷增加 放大倍率 1/ε，總會有一個時刻，目鏡中将看不到蘋果；

若 用 A 表示蘋果，X表示整個世界，則 第一種情況就是，

• 對于 a ∈ X ，存在 ε > 0 使得 B(a, ε) ⊆ A，

我們稱滿足 這個性質的 點 a 為 A 的 内點，A 的全體内點 稱為 A 的 内部，記為 A°。

若 将 世界 X 中除去 A 的部分記為 Aᶜ = X \ A（稱為 A 的補集），則 令 B = Aᶜ 表示蘋果之外，這樣 第二種情況可表述為，

• 對于 a ∈ X ，任意 ε > 0 都有 B(a, ε) ∩ A ≠ ∅ 并且 B(a, ε) ∩ Aᶜ ≠ ∅，

稱滿足 這個性質的 點 a 為 A 的 邊界點， A 的全體邊界點 稱為 A 的 邊界，記為 ∂A。聰明的朋友 會發現，A 的邊界點，對于 B 也滿足 以上性質，所以 也是 B 的邊界點，即有，

• ∂A = ∂(Aᶜ)

這符合我們的常識：兩個相鄰國家的邊界是同一個，這還說明：某點集 的邊界點 不一定在 該點集内。

将 第三種情況 和 第一種情況對比，大家就會發現，此時的 a 就是 Aᶜ 的 内點，我們稱它是 A 的 外點。再對Aᶜ 考慮第一種情況，此時的 a 顯然也是 Aᶜ 外點。

将 第一第二種情況混合起來，有，

• 若 焦距 a 對準 果皮，則 無論如何調節 放大倍率 1/ε，目鏡中始終可以看到蘋果（一部分 或 全部）；

這可表述為，

• 對于 a ∈ X ，任意 ε > 0 都有 B(a, ε) ∩ A ≠ ∅，

稱滿足 這個性質的 點 a 為 A 的 觸點，A 的全體觸點 稱為 A 的 閉包，記為 A‾ 。我們發現：

• A = A‾ ，稱這樣的 A 為 閉集；
• B = B°，稱這樣的 B 為 開集；

顯然 閉集 A 的補集 B 是 開集， 開集 B 的 補集 A 是 閉集。

同樣是 蘋果 的觸點，還可以再分類，考慮将 果皮上的 某個點 α 和 蘋果分離，雖然 α 還是 蘋果的點，但是位置發生改變，這時，

• 若 焦距 a 對準 α，則 通過 不斷增加 放大倍率 1/ε ，總會有一個時刻，目鏡中将看不到蘋果除了 α點之外的點；
• 若 焦距 a 對準 α之外的蘋果，目鏡中始終可以看到 蘋果除a點之外的點（一部分 或 全部）；

後一種情況是，

• 對于 a ∈ X ，任意 ε > 0 都有 (B(a, ε) \ {a}) ∩ A ≠ ∅，

稱滿足 這個性質的 點 a 為 A 的 聚點，A 的全體聚點 稱為 A 的 導集，記為 A' 。邊界點類似，某集合的聚點，不一定屬于該集合。

從 A 中除去 包含在 A' 中的點，即，A\ A'，就是前一種情況的點，稱這些點 為 孤立點。

以上就是我們借助顯微鏡，在 度量空間中 建立的 概念。如果你學過《高等數學》下冊的多元微積分，你可能對他們還有印象，如果沒有印象也不要緊。這些概念是研究 度量空間 的基礎，小石頭 将在 續篇中 再進一步詳細分析它們。

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