在幾何學的世界中有着這麼兩個奇怪的東西，一個是莫比烏斯環，而另一個則是克萊因瓶。而這兩個神奇的東西則是人類對于其他維度的想象和探索。

兩者可以說是極為相像，那麼這兩種東西或者說是性質有着怎樣的聯系呢？

我們先來看看什麼是莫比烏斯環，莫比烏斯環又被譯為是梅比斯環、莫比烏斯帶或者是麥比烏斯圈。它是一種重要的拓撲學結構，而拓撲學就是研究幾何體或者是空間在空間中連續變化後維持不變的性質。

莫比烏斯環看名字便知道發現者是莫比烏斯，但是其實并不是這位數學家一個人發現的。而是他和另一位數學家約翰·李斯丁發現的。現實中的莫比烏斯環很容易就能做出來，拿一個紙帶将紙帶的一端的反面和紙帶另一端正面所粘連，便得到了一個莫比烏斯環。

紙帶有着正面和反面，但是紙帶所做成的莫比烏斯環沒有了正反面，僅僅隻有一個面。假設一隻螞蟻在莫比烏斯環上一直走，那麼這隻螞蟻會一直走下去。莫比烏斯環則是将曲面的數量從普通紙帶的雙側曲面減少到了單側曲面。

莫比烏斯環也有着奇奇怪怪的性質，在莫比烏斯環中間畫上一道線，沿着這個線剪開，那麼便會得到一個紙帶端頭旋轉了兩次的一個環，再用同樣的辦法剪開那麼直接得到了兩個圓環。

莫比烏斯環也用在了生活中。就像是以前複讀機中的磁帶，短短的磁帶兩面都被利用到了，資源利用率大大提高。

克萊因瓶則是指一種無定向性的平面。和莫比烏斯環相像的則是克萊因瓶也是由提出者的名字而命名的。最初提出克萊因瓶的人同樣是一位德國的數學家，費利克斯·克萊因。

克萊因瓶到底長什麼樣子？可以想象一下将一個瓶子的瓶口無限延長然後從瓶子内部與瓶底的洞結合從而形成的。可能描述出來有點抽象難以想象出，但是從圖片上面可以看出來。而這種僅僅是克萊因瓶在三維空間中的浸入，也就是說僅僅是高維的物體在三維世界的投影。

其實克萊因瓶是指的一種無定向性的平面，沒有三維世界的“内”和“外”之分。也就是說現在的克萊因瓶僅僅是我們對于高維真實存在克萊因瓶的一種推測。也就是說克萊因瓶僅僅是一個我們用來理解四維概念的非理想模型。

克萊因瓶和莫比烏斯環看着沒什麼關系，但是實際上兩者之間的聯系是很緊密的。

• 首先，兩者可以說是代表着高維空間中的低維可無限循環的模型。
• 兩者都是一種循環的代表。
• 而且将兩個莫比烏斯環粘合起來，便可以得到一個克萊因瓶。
• 兩者都有着不可定向性。但是又相互不同，克萊因瓶是一個閉合曲面沒有着界限。

我們認識到我們現在的所謂的克萊因瓶僅僅是四維在三維空間中的浸入，也就是僅僅是我們理解四維空間的非理想模型。

在三維空間中無法造出四維的物體。而且很難去想象一個四維物體的真實模樣。也就是四維的立方體穿過我們三維世界時情況是如下的：

拿二維空間舉個例子，我們現在已經知道了一個正方體在二維平面中的投影是一個正方形，現在我們轉化視角，假如說我們是二維平面中的生物，我們永遠想象不到所謂的正方體是什麼樣子。因為在二維世界中沒有前後隻有左右，說得好理解一點就是二維世界缺少了深度，也就是一個三維直角坐标缺少了y軸，就是二維世界缺少了寬。

就像是二維想象三維一樣，我們作為三維生物要想去了解四維到底什麼樣子或者是在我們的世界中建造出四維的物體簡直就是不可能的事情。

克萊因瓶造不出的原因就像是無法在二維空間中制造出來一個莫比烏斯環。我們無法用三維的空間去造出一個克萊因瓶。

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