話題：#數學# #微積分# #場論#

小石頭/編

函數是實數ℝ上的映射（記為 f(x): ℝ → ℝ），

• 将函數的定義域改為向量ℝᵐ就變成多元函數（記為 f: ℝᵐ → ℝ）；
• 将函數的陪域改為向量ℝⁿ就變成向量函數（記為 f : ℝ → ℝⁿ）；

多元向量函數常常被稱為場（記為 F: ℝᵐ → ℝⁿ）。

注：為了清晰，正文中所有 向量 或 向量函數 一律使用粗體。

低維度的向量 在物理學中有廣泛的應用，它們常常被稱為矢量，同時場的概念最早也源于物理。《矢量分析與場論》正是關于 三維矢量空間ℝ³ 中微積分應用的 數學課目，小石頭今天要向大家介紹的 梯度、旋度 和 散度 就是 這門課的 最重要 概念。當然，這裡小石頭不打算 照本宣科《矢量分析與場論》中的内容，而是希望能從另一個更通俗易懂的角度來展開。

注：向量和矢量是同一英語單詞vector的不同翻譯。

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根據《高等數學》中的知識，我們知道， 導數，

是 函數 f: ℝ → ℝ 在其上任意一點 x 處的變化率。

與函數 隻有 X 軸 這一個直線方向 不同， 三元函數 f(x, y, z): ℝ³ → ℝ 在其上任意一點 p = (x, y, z) 處，有無數個不同的方向，從而有無數個不同的變化率，為此 可分别取 X、Y、Z 軸對應的方向 i = (1, 0, 0) 、 j = (0, 1, 0)、 k = (0, 0, 1) 的變化率，

這些稱為 偏導數，它們組成 一個 向量，

稱為 梯度，這樣以來，任意方向，

ℓ = Δxi Δyj Δzk, |ℓ| = √ ((Δx)² (Δy)² (Δz)²) = 1

對應的 變化率 就是，

fℓ = ∂f/∂ℓ = grad(f)·ℓ

這稱為 方向導數。

根據向量點乘的性質，方向導數實際上是 grad(f) 在 ℓ 上的投影，即，

fℓ = |grad(f)||ℓ|cosθ = |grad(f)|cosθ

這說明，當 ℓ 和 grad(f) 方向一緻時，方向導數 取得最大值，也就是說：

• 梯度 grad(f) 的方向 表示 f 在任意一點 p 處變化最快的方向，變化率為 |grad(f)(p)|。

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在三維場 F(x, y, z)=(P(x,y,z), Q(x,y, z), R(x, y, z)) : ℝ³ → ℝ³ 中，稱 場沿平面封閉曲線的曲線積分 為 環量，環量與曲線所圍面積之比為環量面密度。任取三維空間 ℝ³ 中的任意一點 p=(x, y, z)，下面考慮在 p 處的 環量面密度。

為了計算簡單，我們用矩形框作 封閉曲線，并 以逆時針為正向 以右手螺旋定朝向。由于 矩形框是 二維的，于是 在三維空間中 就有不同的朝向，進而對應不同的 環量面密度，為此，可先 取 X，Y， Z 軸 三個方向的朝向，分别計算對應的 環量面密度：

• 以 Z 軸為 朝向，以 p 為中心作一個 大小是 Δx × Δy 的小矩形框，并讓其四邊 a, c 和 b, d 分别 平行于 X 和 Y 軸，

已知 F 在 p 點處的值為 F(p) = (P, Q, R) ，而 根據前面梯度的知識，我們知道 ∂P/∂x 和 ∂Q/∂x 分别是 P 和 Q 在 p 附近 沿着 X 軸方向的 變化率，由于 矩形框非常小，所以 F 在 p₁ 值為，

F(p₁) = (P (∂P/∂x)Δx/2, Q (∂Q/∂x)Δx/2, R (∂R/∂x)Δx/2)

同樣由于矩形框非常小，可以認為 a 邊上的每一個點的 F 值都有一樣，于是 矩形框a邊的環量為，

[F(p₁)·j]Δy = [(P (∂P/∂x)Δx/2, Q (∂Q/∂x)Δx/2, R (∂R/∂x)Δx/2) · (0, 1, 0)]Δy = (Q (∂Q/∂x)Δx/2)Δy

類似地，可計算出， F 在 p₃ 處的值是，

F(p₃) = (P - (∂P/∂x)Δx/2, Q - (∂Q/∂x)Δx/2, R - (∂R/∂x)Δx/2)

從而矩形框c邊的環量為，

[F(p₃)·(-j)]Δy = [(P - (∂P/∂x)Δx/2, Q - (∂Q/∂x)Δx/2, R - (∂R/∂x)Δx/2) · (0, -1, 0)]Δy = (-Q (∂Q/∂x)Δx/2)Δy

于是矩形框在X軸方向的環量（即，a c邊的環量）就是，

(Q (∂Q/∂x)Δx/2)Δy (-Q (∂Q/∂x)Δx/2)Δy = (∂Q/∂x)ΔxΔy

同理，可以求得，矩形框在Y軸方向的環量（即，b d邊的環量）是，

(-∂P/∂y)ΔxΔy

這樣，矩形框的環量就是，

(∂Q/∂x - ∂P/∂y)ΔxΔy

而 ΔxΔy 剛好是矩形框的面積，于是環量面密度為：

∂Q/∂x - ∂P/∂y

• 與上面類似，可求得 X軸 和 Y軸 朝向 的環量面密度 分别為：∂R/∂y - ∂Q/∂z 和 ∂P/∂z - ∂R/∂x；

然後，三個朝向的 環量面密度 組成一個向量，

稱為旋度，這樣任意朝向 ℓ 的 環量面密度 就是，

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還是上面三維場 F，我們 稱 場 在 曲面 某一單側 的 曲面積分 為 通量，封閉曲面外側的通量與曲面所圍體積之比為通量密度。下面再考慮 p 點處的 通量密度。

為了計算簡單，我們用立方體作 封閉曲面，以 p 點為中心 作一個 大小是 Δx × Δy × Δz 的立方體，讓其 過任意頂點的 三邊分别與 X, Y, Z 軸平行。

與前面類似，因為立方體非常小，所以，

F(p₁) = (P (∂P/∂x)Δx/2, Q (∂Q/∂x)Δx/2, R (∂R/∂x)Δx/2)

同樣因為 l 面非常小，所以認為 F 在 其上的每個點的 值都是 F(p₁) , 而 l 的面積是 Sl = ΔyΔz，于是 F 垂直通過 l 面的通量為，

[F(p₁)·i]Sl = [(P (∂P/∂x)Δx/2, Q (∂Q/∂x)Δx/2, R (∂R/∂x)Δx/2)]·(1, 0, 0)]ΔyΔz = (P (∂P/∂x)Δx/2)ΔyΔz

類似地，可計算出， F 垂直通過 r 面的通量為，

[F(p₁)·(-i)]Sr = [(P - (∂P/∂x)Δx/2, Q - (∂Q/∂x)Δx/2, R - (∂R/∂x)Δx/2)·(-1, 0, 0)]ΔyΔz = (-P (∂P/∂x)Δx/2)ΔyΔz

以上兩項相加得到，

(∂P/∂x)ΔxΔyΔz

這就是 F 在 X 軸方向的通量，同理的計算出 F 在 Y 和 Z 軸 方向的通量分别為，

(∂Q/∂y)ΔxΔyΔz 和 (∂P/∂z)ΔxΔyΔz

于是，總的通量就是，

(∂P/∂x ∂Q/∂y ∂P/∂z)ΔxΔyΔz

而 ΔxΔyΔz 剛好是立方體的體積，于是通量密度就是，

這稱為散度。

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到這樣我們就輕松的引入了概念，

• 梯度：

grad(f) = (∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z)

三元函數 f(x, y, z) 在任意一點處，沿着 X、Y，Z 軸三個直線方向上的 變化率；

• 旋度：

rot(F) = (∂R/∂y - ∂Q/∂z, ∂P/∂z - ∂R/∂x, ∂Q/∂x - ∂P/∂y)

三維場 F = (P, Q, R) 在任意一點處，朝向 X、Y，Z 軸 三個方向的 環量面密度；

• 散度：

div(F) = ∂P/∂x ∂Q/∂y ∂R/∂z

三維場 F = (P, Q, R) 在任意一點處的通量密度；

同時也解釋它們的幾何意義。

是不是很簡單？！

當然，物理學上為了方便，還引入了 哈密爾頓 算子▽（讀作 nabla），

這樣，梯度、旋度、散度，可以分别記為

注：以上後兩種表示，僅僅是形式上的，而實際上，▽ 在數學上中是用于表示黎曼聯絡，他是 梯度的升級概念。

（好了，以上就是本文的正文内容，如果大家還有餘力可以看看 副文，希望大家喜歡！）

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副1：談談上同調

副2： 關于微分是線性化的說明

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