這是高考數學的一道真題，利用導數求單調性并且證明不等式的問題，是高考數學最常見的壓軸題之一，題目是這樣的：

已知函數f(x)=x(1-lnx). (1)讨論f(x)的單調性；(2)設a,b為兩個不相等的正數，且blna-alnb=a-b, 證明：2<1/a 1/b<e.

【第一小題是送分題，可以快速解決，隻要對函數求導，就可以發現其單調性。依據是：導數大于0時，函數增；導數小于0時，函數減。這個知識點将貫穿全題】

(1)解：f’(x)= -lnx, 當0<x<1時, f(x)是單調增的; 當x>1時, f(x)是單調減的.

【第二小題所給的等式，必須進行一個變形】

(2)證明：由blna-alnb=a-b得，(1-ln(1/a))/a=(1-ln(1/b))/b, 即f(1/a)=f(1/b),

不妨設0<1/a=u<1<v=1/b<e, 【為了下面描述的方便，所以對它們進行換元。至于到底是1/a大還是1/b更大，這是沒有關系了，設定就好】

當v≥2時, u v>2; 當1<v≤e-1時, u v<e. 【先給定特殊情況的結論，再證明剩餘的情形，這種方法在高考數學壓軸題的解題過程中是很常見的。】

當1<v<2時, 0<2-v<1,【這就使得u,和2-v都在f(x)的單調遞增 區間上，以便下面利用單調性，比較它們的大小】

記 g(v)=f(u)-f(2-v)=f(v)-f(2-v), 【構造輔助函數，是關于導數的問題最重要的手段之一。】

因為g’(v)=-lnv-ln(2-v)=-ln(2v-v^2)>0,

所以f(u)>f(2-v), u>2-v, 即u v>2, 【這是函數f在(0,1)上單調遞增的性質決定的】

【至此u v>2得證，接下來再證u v<e，這一步很容易出錯。一定要把它想明白了哦。】

當e-1<v<e時, 0<e-v<1, 記 h(v)=f(u)-f(e-v)=f(v)-f(e-v), 【這個函數的導數性質不那麼好求】

由h’(v)=-lnv-ln(e-v)=-ln(ev-v^2)知, 存在v0>e-1使ev0-v0^2=1,

【其實ev-v^2=1有兩個解，另一個小于1，對這道題沒有意義，所以不用考慮。至于為什麼會有一個解v0=e-1，就要通過解方程之後證明了，但這一步可以省略。之所以要取ev-v^2=1，就是要取導數的零點，這樣才能了解h(v)的增減性，以求得它的零點】

因為當v∈(e-1,v0)時, h(v)單調減,當v∈(v0,e)時, h(v)單調增,

所以h(v)<h(e-1)=f(e-1)-f(1)<0,

【來到這裡，參考答案就準備給出結果了，但老黃覺得，這裡并不嚴謹，還要考慮h函數在e點的左極限的情況，但這方面涉及到高等數學極限的知識，所以老黃覺得這道題出得有點不夠嚴謹，或者說有點超綱。就參考答案來說，是不夠嚴謹的】

或者 h(v)<h(e-0)=f(e-0)-f(0 0)=0.【h在e是沒有意義的，所以取它的左極限。代入h的解析式之後，就得到f(e)的左極限和f(0)的右極限都等于0，所以h(v)仍小于0。】

所以f(u)<f(e-v), u<e-v, 即u v<e, 綜上得證！

你覺得這道題怎麼樣呢？

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