在數學教程中如何給出定義，經常是值得研究的。好的定義應當揭示概念的本質，是“what”層面的，而不是“how”層面的。

撰文 | 姜樹生

本文所讨論的數學問題，主要與數學教育有關。

對于一個數學概念的理解，直觀、定義與表達這三個方面都是需要的，但有各不相同的作用。

在小學數學的初級教程（具體說就是自然數的認識）中，這三個方面是混合在一起的，既要有直觀（從扳着手指頭數數開始，實際上要做很多實驗），又要學記數法（進而就可以計算），最終要形成自然數的概念。在這個過程中，難免有不适當的做法，甚至走彎路、犯錯誤，但如果最終形成了自然數的概念，在學習過程中有些缺點出些錯誤都無可非議。就如孩子學走路，難免跌跌爬爬，磕磕碰碰，甚至受點傷，但隻要最終學會走路就行。

然而近年來，有些自以為高明的教學法，從很小就教孩子學習記數和計算，不重視甚至忽略直觀。其結果可能使得孩子在速算比賽中獲獎，但卻不能自覺地應用數學解決生活中的問題，更沒有培養創新能力。其實隻是一種虛榮而已。

到了中學數學教程中，上述三個方面逐漸分開，教學法與小學有顯著的不同。

首先來看無理數的概念。在早年的大多數教科書以及當今的一些教科書中基本上是這樣講的: 首先以例子說明無理數存在，具體說就是有的“數”不等于兩個整數的比，最常見的是邊長為 1 的正方形的對角線的長度（有的教科書中給出其無理性的證明）。認識到無理數的存在，就可以進一步形成實數的概念，即有理數與無理數的全體。至于無理數表達為無限不循環小數，很多教科書是不講的，或者僅舉具體的例子讓學生體會。這樣的講法盡管沒有給出實數的定義，卻是适合大多數學生。實際上大多數人一輩子也沒見過實數的定義，但這并不妨礙他們在工作中使用實數，因為數學的嚴謹性是由數學家保證的，一般人盡可以放心大膽地使用。

但是，如果有學生問“什麼是無理數”，準确地說就是不滿足于直觀，希望從根本上搞清楚實數的概念，教師應該怎樣回答呢？這樣的學生是千裡挑一，而能回答這樣問題的中學教師也是千裡挑一。問題僅在于千裡挑一的學生能否遇到千裡挑一的老師。

有的老師會回答說：“無理數就是無限不循環小數”，在有些教科書或課外書中也看到這樣的“定義”。然而，“無限不循環小數”隻是無理數的一種表達方式，而不能作為定義。從哲學上說，任何一個定義必須是針對一個客觀存在的對象,否則就可能落入邏輯陷阱。（一個典型的例子就是“所有集合的集合”，若引入這個“定義”，整個數學體系就崩潰了。）首先需要明白實數是一種客觀存在，然後才能談它的表達。

有效的實數定義至少有兩個，一是用戴德金分割，一是用基本叙列。兩個定義是相互等價的，但風格迥異，前者幾何味較濃，後者代數味較濃。（從數論的眼光看，實數是整數在“阿基米德位”的局部化。）要想理解實數的實質，最好兩個定義都讀懂（若能從數論的角度理解當然更好）。但這兩個定義都頗不簡單，而且定義後還要建立各種運算、大小關系、極限等。對于一般的中學生甚至大學生，難度都是相當高的。因此，在中學數學教程和大學高等數學教程中不引入實數的定義，是明智的。

但若在中學或大學數學教程中以“無限不循環小數”作為無理數的定義，則是非常不明智的，非但不能使學生明白，反而會使很多學生誤以為懂了。如 [4] 中所說:

“不怕不懂，就怕不懂還自以為懂。”

再來看平面幾何。在幾何教科書中有很多定義，但這些定義都不是“原始”的，原始的概念如點、直線、平面等都是隻有直觀沒有定義的，但它們由公理體系界定。用現代的語言，幾何對象可以定義為滿足一些條件 (公理) 的若幹集合所組成的體系。硬要定義直線、平面等是不會有好結果的，所幸還沒聽說有這樣的教科書。

不過在現行中學數學統編教科書中，很多幾何概念的定義有嚴重缺陷，例如把直觀當作定義，或語義含混 (詳見 [2])。

回過頭來再看實數的概念。非常值得一提的是數軸的直觀。将實數理解為數軸上的點，對于大多數學生是理解實數（包括無理數）的一個有效途徑。有了無理數的例子，再有數軸的直觀，對于普通學生就可以有效地講授實數概念。換言之，幾何直觀是理解實數的一個有效途徑，對于中學生是不可或缺的。

對于多數學生有較高難度的定義還有一些，如概率。對于這類概念，隻講直觀而不講定義，常常是明智的。但常常還需要給出表達方式，并進一步給出“操作”（如計算）方法。這樣學生就能夠運用這些概念，做出有創新性的工作，盡管可能最終也沒有完全搞懂某個概念。此外，通過應用也有可能提升對于概念的理解。

簡言之，如果學生能理解，直接講定義對于建立數學概念最有效；而若大多數學生不能理解，最起碼也不應該講假的定義，或者忽悠學生。

在大學數學教程中也有定義方面的問題。

先來看微積分教程。随便找一本微積分（或數學分析）教科書，就會看到其中積分（黎曼積分）的定義頗不簡單。在數學分析教程中，一元函數的積分定義為一個頗不平凡的極限，判别其存在性還要用到達布和等，相當複雜而費解。在非數學專業的微積分教程中，這部分内容隻是簡化了些（實際上是偷工減料），複雜度基本未變，所以未必比數學分析教科書容易懂；但另一方面，對這些内容都不會布置作業，更不會考試（包括研究生入學考試），徒然浪費時間且讓學生頭疼。

順便指出，各版本中學教科書中的積分概念也是這樣寫的，對于中學生當然就更頭疼了，甚至很多中學教師也看不懂。

學過實變函數論就知道，一元函數黎曼可積等價于幾乎處處連續，直觀地說，其實離連續函數沒多遠。在黎曼積分的應用中實際上主要是針對連續函數，至多是分段連續函數。對于一般的學生，由黎曼積分其實隻是學到面積的一個定義，何況這還不是一般的定義，例如一條一般的約當單閉曲線所圍成的區域的面積，就不能用黎曼積分來定義（在康妥的時代就知道，曲線可能有非零的面積）。所以，花了那麼多的時間那麼大的功夫學黎曼積分，隻是學到一個特殊情形的面積定義而已。然而，一般人都有面積的直觀，并不需要面積的定義。（如果關心面積的定義，可以看勒貝格積分或更一般的定義，如動力系統中對于維數和測度的定義。）因此，為了理解積分的概念，至少對大多數學生，不如局限于連續函數的積分。

如果将連續函數的積分定義為“有向面積”，就很容易理解且不需要花多少功夫。具體說，對于閉區間 [a, b] 上的連續函數 f(x)，由直線 x=a，x=b，y=0 和曲線 y=f(x) 圍成的圖形具有面積，将直線 y=0 上方的面積看作正的，下方的面積看作負的，這樣得到的總面積稱為有向面積。将 f(x) 在 [a, b] 上給出的有向面積稱為它的積分，記為

由此定義不難證明牛頓-萊布尼茲公式

而積分的一些其他基本性質如

(r, s為實數)，分部積分法、換元法以及一些初等函數的積分等，利用牛頓-萊布尼茲公式都很容易證明 (有些甚至可以作為習題)。利用張景中先生制作的輔助軟件，一堂課就足以講清楚積分的基本概念和牛頓-萊布尼茲公式，這已經超過中學課程标準的要求了。至于黎曼積分的原始思想——分割成豎條作面積和再取極限，可以直觀地講一下，不講也可以，不需要花費很多課時，其實隻有少數學生會關注。

再來看線性代數教程。“向量”是最重要的基本概念之一。在目前所見到的很多教科書 (其中有些是早年的) 中，向量定義為有序數組。這樣的定義不僅費解 (與解析幾何中的定義相距甚遠)，而且向量的運算還要另外定義。一般說來，要直到學了很多内容後才明白向量是什麼。

這樣的定義有明顯的缺陷，沒有揭露向量的本質。詳言之，有序數組是向量在取定的坐标系下的表達，是“how”層面的，而好的定義應該是“what”層面的。

從“what”層面看，向量就是向量空間的元素，脫離向量空間來讨論向量是沒有意義的。向量的運算，都涉及多個向量以及它們之間的關系。所以，要明白什麼是向量，歸根結底要明白向量空間。

然而，很多線性代數教科書中根本就沒有向量空間。即使有，很多教師也不講。常見的理由是，向量空間太“抽象”，學生難以理解。那麼，基于向量空間的很多概念和定理，當然就更不能講了。

其實向量空間的概念并不算很“抽象”，國外一些大學本科代數教科書是先講群論後講線性代數，顯然比我國的線性代數或高等代數教科書更“抽象”。另一方面，我國現在的中學生都要花很多工夫學集合，但從教科書上看不到有什麼用（除了刷題）。若是對于向量空間概念的高明之處有所領悟，至少會覺得集合是有用的。所以，至少有一部分學生理解向量空間并無困難。而對于有困難的學生，需要教育者的耐心，例如可以采取如下的途徑講授。

注意學生在解析幾何中學過平面向量和空間向量，而且知道一些物理應用。在初等的數學和物理教科書中一般會講向量的直觀，即“既有大小又有方向的量”，而且較好的教科書中還會指出，這隻是一種直觀，并非既有大小又有方向就是向量 (例如電流)。學生通過物理意義可以對向量有正确的理解，盡管還沒有向量空間的概念。那麼，從向量的這些直觀概念推進到一般的向量空間，本質上隻是維數可以不受限制。因此，可以先複習解析幾何中的平面向量和空間向量，包括它們的直觀意義和物理應用，然後系統地複習和整理向量的運算，再複習和整理向量在直角坐标系下的表達。然後舉例說明高維的向量也是有數學和物理意義的。由此引導到一般的向量空間，就不很“抽象”和難于理解了。當然這需要多花費一些時間，但對于後面的學習是有利的。

還值得指出，一般不能說定義的對錯（Yuri Zarhin 曾無奈地說: “Well，every definition is correct”），隻能說定義的優劣。一個好的定義能夠揭示客觀存在或自然規律，啟迪思維，引導有意義的研究方向。在極端的情形，甚至一個好的定義就解決了問題。遺憾的是很多定義有缺陷。有的教科書将直觀當作定義，毫無科學嚴謹性可言，有些還頗為費解，或語義含混，或幾乎是同義反複（參看 [2]），這些都是誤人子弟。有些定義雖然嚴謹，但沒有背景，不自然（有人為設置的條件），在極端的情形甚至所定義的東西根本不存在。盡管由這樣的定義可以推導出一些定理，可以寫論文發表，但對科學并無貢獻，也不會有應用，隻是邏輯遊戲而已。還有一類情形，雖然所定義的對象是客觀存在且值得研究的，但定義的條件複雜或費解（如上面所說的将表達作為定義），尤其不利于初學者。其中有些還可能導緻偏見或心理障礙。

由上所述可見，在數學教程中如何給出定義，經常是值得研究的。這是張景中先生所說的“教育數學” (參看 [6]) 的一個課題。

參考文獻

[1] 姜樹生: 談數學教育的特殊性——兼談如何處理數學與教育學的關系. 數學通報 2008 年第 4 期

[2] 姜樹生: 現行統編中學數學教科書有多爛 (2016)

[3] 李克正: 《抽象代數基礎》，研究生數學叢書 6. 清華/Springer 出版社 (2007)

[4] 李克正: 現代社會對于勞動者的數學素質的需求 (2019)

[5] 其故: 得數學者得天下. 返樸網 (2019)

[6] 張景中: 談談教育數學 (2021)

更多精彩资讯请关注tft每日頭條，我们将持续为您更新最新资讯!