首先，要說明一下：在數學和物理中，很多時候證明就是解釋的一部分甚至全部，但反過來，解釋并不一定需要證明。

在學習方面，很多人有一種非常錯誤的認識：就是把所有的精力直接、全部放到考試的内容上，才是最高效的教學。

家長和學生有這樣的錯覺很正常，因為前者不具備專業知識，後者最多算是個學徒。

可怕的是：大部分專職老師也持這樣的态度。

也許這種思想就是某些老師認可并在踐行的思想，也有可能是一部分老師在當今社會分數至上的巨大壓力下，不得已選擇的教育方法。

就像“如何向六年級的學生解釋（-1）×（-1）=1？”這個問題，基本上不會出現在中小學任何形式的考試中，所以，也幾乎不會有中小學老師去給學生講解這個問題。

因此，我想：絕大部分初中及以上學曆的人看到這個題，第一反應無外乎以下幾種：“本來不就是這樣的嗎？”、“這還需要解釋嗎？”、“這不是最基礎的道理嗎？還能再解釋嗎？”

（-1）×（-1）=1是最基礎的數學運算規則，這可能是很多人認為無法再解釋的主要原因。

實際上，這個問題在某乎上的回答已超過650個。在這些回答中，除了用大學知識進行的證明外，幾乎沒有一個回答是完全正确的（當然我下面的解釋也不一定全對），而且很多錯誤的回答看起來都是對的，即使你認真地去思考，也不一定能發現。

（-1）×（-1）=1，客觀上确實是數學裡最基礎的運算規則，簡單點兒說它就是一個人為的規定，還真沒法證明。

但是要注意：證明與解釋，是兩個概念，它們可能有聯系，但一定有不同。

不能證明不代表不能解釋，

不能證明不代表老師不需要給初學者解釋。

學到高中甚至大學後，絕大部分人基本上都能很自然地理解（-1）×（-1）=1的深層涵義，但對剛開始學習這一塊兒的學生來說，要想讓學生更好地理解和應用，就必須要給出合理的、學生能理解的解釋。

在數理化中，任何規則都有其意義，隻要有意義，就能做出合理的解釋，而對于初學者來說，隻有真正地理解了意義，才可能真正地、高效地學好。

還有一點很重要：就是面對入門者，我們在講解新知識時，是不能用專業的學術語言去講解的，因為他們沒有必要的知識儲備，他們能聽清楚你說的每一個詞、但一定無法理解其中的含義；因此，在給初學者講解新知識時，要用他們能聽懂的、易理解的大白話去講解專業的知識。

這也是我為什麼說：初中物理簡單，但高中物理更好講。

因為初中生沒有任何專業的物理基礎，學習物理完全是從零開始，而初中物理中，有些物理理論與 學生在生活中見到的物理現象或生活體驗， 看起來并不一緻，這反而會增加他們學習的難度；

而高中生，就算初中物理學得再差，隻要在初中聽過課而不是每堂都睡大覺或者完全不聽講、不看書，起碼知道 力、壓強、電流、歐姆定律等基本名詞，退一萬步講，就算他們搞不清楚力的定義，但對力這個物理名詞至少不會陌生；

同樣，到了高中或者大學，學生很容易就能理解（-1）×（-1）=1的意義，但如果要用非專業的、能讓小學高年級學生理解的語言解釋清楚，不但很難，過程可能還比較無趣。

與從零到一相比，從一到二的難度根本不值一提。

很多小學生家長在輔導孩子時，往往會說“這麼簡單的問題都不會”之類的，從父母的角度來看，小學生的數學題确實非常簡單，因為父母已經具備了一定的“專業”基礎；但是從孩子的角度來看，那些題可能真的難如登天，因為在孩子的思維裡，沒有相關的基礎，而老師又沒有将相關規則向他們解釋明白，孩子在不理解的情況下，覺得“難、不會做”，不是很正常嗎？

更重要的是：孩子不會做的根本原因不在于客觀題目的難易程度，更多地是因為孩子根本沒有理解規則。

家長錯誤地把孩子不會做題歸咎于“孩子笨”、“不努力”等，孩子覺得委屈倒是其次，最重要、也最嚴重的後果是孩子的自信受到了極大的打擊，而且還是持續不斷的打擊，這種傷害對孩子的影響有多大，實在難以想象。

回到（-1）×（-1）=1的問題，下面的講解 主要是針對沒有負數概念的學生或者負數還沒學太明白的同學，這樣基礎較好的同學也很容易明白。

首先，學習理科的學生，一定要有這樣一種概念：

數理化中，任何符号和規則的建立（或發現的規律），都是為了用更簡潔的方式解釋我們生活的世界，并指導我們更高效地進行社會實踐活動。

如果不嫌麻煩，你可以管你最好的朋友叫作“張三的二女兒的小兒子”或者“李四再婚的媳婦帶來的小孩兒”，當然你也可以叫他的大名兒“王五”或者你給他起的外号“六狗子”，以上的名字都指向你那個好朋友，但“六狗子”的使用範圍僅限于你或者你們共同的朋友圈，而其正式名字“王五”則在全國範圍内通用，為了避免同名同姓之間的混淆，有時候還需要通過身份證編号等加以區分；

數學中的符号，本質上是和 帶有身份證編号的名字 差不多，減号和負号雖然在數學上的表示方法一樣，但是分别有不同的含義。

如上圖所示，假設你站在“0”的位置，面朝右，向前（右）走三步就到了位置“3”；然後你繼續向前（右）走兩步，就到了3 2=5的位置，這就是加法；

如果你從“3”的位置（面朝右）向後（左）退了兩步就到了3-2=1的位置，這就是減法；

如果你在“3”的位置先轉身180度，再向前（左）走兩步，同樣也會到達“1”的位置，如果這個過程你還用減法也就是“3-2=1”來表示的話，那麼也就是說“3-2=1”一個式子将對應上邊兩個過程，這就與數學的基本原則相沖突；

數學的基本原則是：同一場景中，同一個過程可能有多個數學表達方法，但同一個數學表達方法在該場景下隻能對應一個過程；

那麼如果我們規定：不管你面向左還是右，都用加法表示向前走、用減法表示向後走，用負号“-”表示面朝左，即原來朝向（向右）的反方向，這樣在“3”的位置先轉身180度，再向前（左）走兩步，就可以用式子“3 （-2）”表示，從上邊的圖很明顯可以看出來，3 （-2）=1，這樣我們就可以用兩個不同的式子分别表示從位置“3”走到位置“1”的兩個過程，而且每個式子隻對應一個過程；

最開始，你（面朝右）從“0”走到“3”的數學表達式其實是0 （ 3）=3，正号“ ”表示面朝右，與“-”的方向相反；

同樣，如果你仍然面朝右站在位置“0”，先轉身再向前（左）走兩步，其數學過程應該用加法“0 （-2）”表示，根據加法交換律和“任何數加零值不變”的基本原則，可知0 （-2）=-2，也就是到達的位置應該标上“-2”，

同樣，我們還有其它方法走到“-2”，比如在位置“0”先面向左，即負方向，先向前（左）走一步，再向前走一步，就得到了（-1） （-1）=-2；

如果先向左走三步，再向後（右）退一步，那麼就會得到（-3）-（-1）=-2；

如果先向左走三步，然後轉身再向前（右）走一步，那麼就會得到（-3） 1=-2

前面我們用負号“-”表示方向向左（即反方向），如果用正号“ ”表示方向向右（即正方向），那麼我們從上邊的例子中就可以總結出來以下規律：

向右走用正數（正号可省略不寫）表示，向右走一格表示為（ 1），走兩格表示為（ 2），。。。。。。

向左走用負數（負号不可省略）表示，向左走一格表示為（-1），走兩格表示為（-2），。。。。。。

向前（面朝的方向）走就用加法，

向後退就用減法；

每改變一次符号，就要轉向一次，比如“3 （-2）”，“3”前面被省略了正号，說明你在3的位置時是面朝右的（正方向），“2”前面是負号，那麼“3 （-2）”就表示“你面朝右站在位置’3’，先轉身然後再向前走2步”；以此類推，“（-2） 3”就表示“你面朝左站在位置’-2’，先轉身然後再向前走3步”；

從上邊的分析中，我們也很容易發現“3-2”與“3 （-2）”雖然表示不同的意義，但最終結果是一緻的，即減法可以轉化成加法進行運算，也就是說進入初中以後（準确地說是學習負數的運算法則以後），原則上已經沒有了減法（當然也可以理解成：所有的加法都可以轉換成減法，這樣就相當于沒有了加法，隻是這種說法不常見）。

以上，我們從非負數的加減運算擴展到了實數的加減運算；

接下來再看負數的乘法規則；

在某種程度上，可以把乘法理解成加法的簡便運算，即

3×（-1）=（-1） （-1） （-1）=-3

乘法又滿足交換率，所以

（-1）×3=-3

但是（-3）×（-1）就不能按照上邊的方法來解釋，因為沒有“負三個-1相加”或者這麼說不但會讓學生根本無法理解，還更容易把學生弄暈。

在上邊走路的例子中，我們用“正号表示正方向，負号表示負方向”來幫助我們理解乘法中正負号的意義；

同樣，如果要讓學生更好地理解負數的乘法，那麼在講解時，就需要先賦于乘法中的負号一個容易被理解的意義（隻是為了方便理解，不一定是數學上的嚴謹的意義）。

還是以走路為例，

任何一個負數，比如-3，可以理解成你面朝右（正方向）站在“0”點時，先轉身再向前走三步，即-3=0 （-3）；如果你将文字表述與數學表達式進行一一對應，你會發現負号剛好對應“（站在原地）轉身（轉向180度）”；

前面我們已經證明了-3可以寫成（-1）×3，那麼這裡的（-1）就隻是起到一個（站在原地）轉向180度的作用，而（-1）也可以理解成負号單獨被拿出來時的寫法（單獨的一個負号沒有任何意義，注意與實數-1的區别）；

根據前面的分析，很容易理解理解（-1）=(-1)×1，等式右邊的-1隻表示一次轉向；

那麼

（-1）×（-1）=[(-1)×1]×[(-1)×1]

（等号左面的兩個負一表示兩個實數，等号後面的兩個負一表示單獨出現的負号，分别代表一次轉向）

等式後面出現了兩個負号，也就表示你要站在原地（面朝正方向）連續轉身180度，結果與轉向前沒有區别，即

（-1）×（-1）=[(-1)×1]×[(-1)×1]=1×1=1

同理，對于任意兩個負數相乘，可以通過下邊的形式理解其結果

（-2）×（-3）=[(-1)×2]×[(-1)×3]=2×3=6

推廣開來，就能得到學生非常熟悉的規則：

n個負數相乘，當n為偶數時，結果為正；當n為奇數時，結果為負。

在物理學中，負号“—”隻表示某個物理量的方向，與大小無關，但在純數學中，任意兩個數都是可以比較大小的，因此在數學裡，也賦予了負數可以比較大小的功能，比較規則可以從上面的圖（即數軸）上觀察出來；

當學生學習到向量外積和右手定則後，會對負數的乘法法則有更進一步的認識，但這種更科學、嚴謹的解釋方法明顯不适用于小學生。

以上的分析解釋，大概用了2000字，我覺得應該可以讓初學者對負數及其運算原則有一個較深刻的認識與理解，但過程中并沒有特别能吸引學生的地方，講解花費的時間也肯定比“直接讓學生背規則、記結論”要多很多，所以，我覺得不會有太多的老師會這麼細心地給學生講解，它們更喜歡讓學生“先記住，用得多了就自然理解了”。

“讀書百遍，其義自現”、“熟能生巧”等，是很多人都知道也都認可的學習方法，但是這種方法在文科的學習中可能是非常實用的，但在學習理科的過程中，如果在不理解基本原理的情況下強行“讀書百遍”、“生搬硬套”，那麼隻能産生非常強大的負作用。

文科比較注重積累，對記憶力的要求比較高；“熟讀唐詩三百首，不會作詩也會吟”，就是這個道理；

而理科，更側重于理解，概念定義、公式定理等背得滾瓜爛熟卻仍然不及格的學生不在少數，根本原因就在于他們不會用，雖然他們記住了相關的理論知識，但因為不理解，所以基本上不可能用好。考場上套沒套對，全憑運氣，是對是錯心裡沒有一點兒譜兒，從初中開始，年級越高，這種現象越嚴重。

很多老師給成績不好的學生的建議就是：多背題型、套路、技巧等，然後多做題，很多家長也這麼認為成績不好就要多做題。

當學生做題的正确率低于某一程度時，做題越多，其負作用将急劇增大，甚至會讓學生放棄某一科。

萬丈高樓平地起。

當家長看到其它孩子已經蓋起了二層樓、而自家孩子才剛剛蓋了一間茅草屋時，家長和老師就會催促孩子你趕緊用水泥啊、趕緊加磚呀、你趕快往上蓋呀；

實際上這往往是錯的。

決定一塊地上能不能蓋高樓的，不是你有多少水泥、有多少磚，而是你的地基打得夠不夠堅實。

如果你打好了一塊能支撐萬米高樓的地基，哪怕你最初隻是在上面支了個帳篷，隻要你想，随時可以拆了帳篷建造世界第一高樓。

如果你喜歡一棵大樹的繁茂，為了讓它更茂盛，不是将其它樹上的枝葉剪下來綁到這個樹上，你綁得越多，對這個樹的危害越大，當你綁上的枝葉越來越多時，大樹能接受到的陽光會越來越少，透氣性越來越差，接着就會腐爛，最後會引發火災，直至催毀整棵大樹。

正确的做法是強根固本，及時對根部松土、除草，适時澆水、施肥，你要的繁茂将不期而至，往往還會超出你的預期。

想要學好理科，就一定要努力理解好最基礎的知識。

當然我不是說要讓學生去花費大量時間去思考“如何向六年級學生解釋（-1）×（-1）=1”這樣的問題，但是在閑暇或課間，稍微思考一下，其收益很可能會超過 去思考一道遠超過自己實際水平的難題 。

這種思考，稍有所得，則必然會終身受益，而且這就像滾雪球一樣， 堅持的時間越 長，收益越大。

由于這些問題不與考試直接挂鈎，因此思考可以在很長時間裡間斷性進行，學生一旦養成喜歡思考的習慣，很可能終身受益；如果學生有幸得到某個好老師的指點或引導，那麼思考效率可能會直線提升，對學習的興趣也會水漲船高。

現實中比較可悲的是：很多學生和家長覺得這種思考是浪費時間、沒用，發現孩子有這種苗頭時就像消防員發現火災一樣迅速撲滅，最終以“愛”、“為了你好”的名義，将孩子的求知本能連根拔起、把孩子心中燃起的學習熱情打入寒冷的冰窖，然後又反過來抱怨孩子笨、不努力。。。。。在這種環境下成長的孩子，或許比窦娥還冤上千萬倍。

最後，我隻能希望越來越多的孩子能被正确地教育，讓他們與生俱來的巨大潛能能夠真正地被開發出來。

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