正方體的計數問題

線、面、體

2020-02-04，女兒問我一個問題：一個7×6×4的長方體木塊，在它的六個面都塗滿油漆，然後鋸成棱長都是1厘米的正方體木塊，則鋸成的木塊中，三面塗色有幾塊？兩面塗色有幾塊？一面塗色有幾塊？

2020-02-05，女兒問我一個問題：已知一個正方體木塊塗上紅色後，把它分割成若幹個棱長都是1厘米的小正方體木塊，有兩面塗色的共108個，那麼隻有一面塗上紅色的有多少塊？

上面兩個問題都是幾何問題，需要一定的空間想象力。我們先來看看這樣一個正方體，試着找規律。

正方體的長寬高都相等

正方體是六面體，每個面都是正方形，有12條棱邊和8個頂點，在圖中能夠看見的有三個面，前面（正面）、上面和右面。與之相對的另外三個面是後面、下面和左面。圖中6×6×6的正方體由棱長都是1厘米的正方體木塊組成。這個正方體共有6×6×6=216（塊）小正方體木塊。下圖是對正面的小正方體木塊的定義和分析。

角塊、棱塊和中心塊是源于魔方的概念

上圖有6×6=36個小正方體木塊。四個角的小正方體木塊稱為角塊，用黃色表示，有三個外表面塗色；四條邊有4×4個棱塊，用藍色表示，有兩個外表面塗色；中心有4×4個中心塊，用白色表示，有一個外表面塗色。

這個正方體有多少個角塊呢？從正面看有4個角塊，每個角塊3面塗色，正方體有6個面，6÷3=2，所以正方體有4×2=8個角塊。

這個正方體有多少棱塊呢？先看下圖。

正方體的面、棱和頂點

看上圖，可以清楚地數出正方體有六個面12條棱，所以答案就是4×4×3=48個棱塊。第一個數字4表示一條棱邊有4個棱塊，第二個數字4表示一個面有4條棱邊，第三個數字3表示6÷2=3。為什麼要÷2呢？因為棱塊兩面塗色，所以要6÷2=3。

這個正方體有多少中心塊呢？因為中心塊隻有一面塗色，所以正方體一個面有16個中心塊，6個面就有6×16=96個中心塊。

通過以上分析，我們已經找到規律了。正方體的角塊等于4×2=8，棱塊等于一個面的棱塊數量乘以3，中心塊等于一個面的中心塊數量乘以6。我們隻需要分析正方體一個面的角塊、棱塊和中心塊，就知道了正方體6個面的角塊、棱塊和中心塊。

掌握規律後，我們可以解題了。先看第一個問題。重新解讀這個問題，它實際上問的是一個7×6×4的長方體木塊，在它的六個面都塗滿油漆，然後鋸成棱長都是1厘米的正方體木塊，則鋸成的木塊中，有多少角塊？多少棱塊？多少中心塊？

我們分析一個面就能夠解答了。角塊有8個。棱塊有點複雜，棱邊分别有4塊、6塊和7塊這三種類型，每種類型有4條棱邊塊。又因為每條棱邊塊需要減去兩端的角塊，所以應該按以下分類來計算：

第一種：（4－2）×4=8

第二種：（6－2）×4=16

第三種：（7－2）×4=20

以上合計44（塊）

最後來看有多少中心塊。需要分類讨論：這個長方體的6個面可以分為3種類型，每種類型兩個面。

第一種：類型6×7，一個面中心塊有4×5=20（塊），兩個面有20×2=40（塊）

第二種：類型6×4，一個面中心塊有4×2=8（塊），兩個面有8×2=16（塊）

第二種：類型7×4，一個面中心塊有5×2=10（塊），兩個面有10×2=20（塊）

以上合計76（塊）

題目解答完畢，該寫答語了。

答：三面塗色有8塊；兩面塗色有44塊；一面塗色有76塊。

現在我們該來解答第二道題目了。題目已知正方體有棱塊108個，求中心塊有多少？

因為正方體有12條棱，所以一條棱邊有108÷12=9（個），那麼一個面就有9×9=81（個）中心塊，6個面就有81×6=486（個）中心塊。

答：隻有一面塗上紅色的有486塊。

正方體不需要分類讨論，相對簡單些。這個正方體的棱邊有9個正方塊，加上兩端的角塊就有11個正方塊，從正面看這個正方體由11×11=121個小正方形構成一個面。

通過以上分析，我們找到規律後順利解答出了這兩道難題。同學們都學會了嗎？歡迎留言讨論。

科學尚未普及，媒體還需努力。感謝閱讀，再見。

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