18°是一個稍有特殊的角度,因為其正好是直角(90°)的五分之一。這個角的三角函數值是比較規則的形式,如何計算呢?
自然的想法,一定是通過倍角和兩角和的公式進行計算。
我們知道二倍角公式為:
sin2θ=2sinθcosθ
cos2θ=2cos²θ-1=1-2sin²θ
三倍角公式為:
sin3θ=3sinθ-4sin³θ
cos3θ=4cos³θ-3cosθ
于是我們可以湊一個表達式來進行計算。
令θ=18°,由誘導公式可知:
cos3θ=sin2θ (即sin54°=cos36°)
使用三倍角公式展開得:
4cos³θ-3cosθ=2sinθcosθ
(為什麼用cos3θ=sin2θ這個表達式?因為這樣展開可以約掉cosθ,關鍵就在這裡)
因為cosθ≠0,于是兩邊約掉cosθ,有:
4cos²θ-3=2sinθ
又因為cos²θ=1-sin²θ,于是表達式轉化為關于sinθ的一元二次方程:
4(1-sin²θ)-3=2sinθ
整理得:
4sin²θ 2sinθ-1=0 (其中0<sinθ<1)
解得
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