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常用16個角的三角函數值及圖像

生活 更新时间:2025-02-10 09:58:19

18°是一個稍有特殊的角度,因為其正好是直角(90°)的五分之一。這個角的三角函數值是比較規則的形式,如何計算呢?

自然的想法,一定是通過倍角和兩角和的公式進行計算。

我們知道二倍角公式為:

sin2θ=2sinθcosθ

cos2θ=2cos²θ-1=1-2sin²θ

三倍角公式為:

sin3θ=3sinθ-4sin³θ

cos3θ=4cos³θ-3cosθ

于是我們可以湊一個表達式來進行計算。

θ=18°,由誘導公式可知:

cos3θ=sin2θ (即sin54°=cos36°)

使用三倍角公式展開得:

4cos³θ-3cosθ=2sinθcosθ

(為什麼用cos3θ=sin2θ這個表達式?因為這樣展開可以約掉cosθ,關鍵就在這裡)

因為cosθ≠0,于是兩邊約掉cosθ,有:

4cos²θ-3=2sinθ

又因為cos²θ=1-sin²θ,于是表達式轉化為關于sinθ的一元二次方程:

4(1-sin²θ)-3=2sinθ

整理得:

4sin²θ 2sinθ-1=0 (其中0<sinθ<1)

解得

常用16個角的三角函數值及圖像(經典的半特殊角)1

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