函數連續偏導數不一定存在。因為偏導數存在隻能保證函數在某個方向上是連續的,比如關x連續,關y連續,但是實際上,多元函數連續,其極限手段比較複雜比較多,可能是四面八方各個方向。
函數y=f(x)當自變量x的變化很小時,所引起的因變量y的變化也很小。例如,氣溫随時間變化,隻要時間變化很小,氣溫的變化也是很小的;又如,自由落體的位移随時間變化,隻要時間變化足夠短,位移的變化也是很小的,對于這種現象,我們說因變量關于自變量是連續變化的,可用極限給出嚴格描述:設函數y=f(x)在x0點附近有定義,如果有lim(x->x0)f(x)=f(x0),則稱函數f在x0點連續。如果定義在區間I上的函數在每一點x∈I都連續,則說f在I上連續,此時,它在直角坐标系中的圖像是一條沒有斷裂的連續曲線。
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