作者 | 劉瑞祥

所謂“傳遞性”是指，若a、b滿足這種關系，且b、c也滿足這種關系，則a和c也滿足這種關系。

傳遞性是“等價關系”的三個要素之一，另外兩個分别是：

自反性-------元素a和它自身滿足這種關系；

對稱性-------元素a和b若滿足這種關系，則b和a也滿足這種關系。

最常見、最平凡的傳遞性出現在相等關系中。而在《原本》的年代裡，雖然還沒有等價關系的概念，卻有關于傳遞性的命題，下面簡要介紹。

公理一：等于同量的量彼此相等。

這就是前面所講的相等關系，在《原本》裡，這一公理頻繁地用于線段、角、面積等多個量上。下面是直接和這一公理有關的命題例子：

【l.1】在一個已知有限直線上作一個等邊三角形。

這裡涉及線段相等的傳遞性。在這一命題中，公理1的目的僅在于直接得到要證明的結論。

【l.13】一條直線和另外一條直線所交成的角，或者是兩個直角或者它們的和等于兩個直角。

這裡涉及的是角相等的傳遞性。在這一命題中，公理1的作用在于将原有的兩個角重新組合，進而得出結論。這可能讓人覺得“非常簡單”，但《原本》正是建立在這些貌似顯然的命題之上的。

【l.36】在等底上且在相同二平行線之間的平行四邊形彼此相等。

這是第一個涉及面積相等傳遞性的命題。在《原本》裡如果提到兩個多邊形相等，根據上下文，可能是全等或者面積相等。而在【l.35】裡，已經利用全等證明了同底上等高的平行四邊形（面積）相等：

【l.48】如果在一個三角形中，一邊上的正方形等于整個三角形另外兩邊上正方形的和，則夾在後兩邊之間的角是直角。

此即勾股定理（【l.47】）的逆定理。作者先是構造直角三角形ACD（其中AD等于AB），然後根據【l.47】得出和已知條件，由傳遞性得出，進而得到。接下來根據三角形全等命題邊（【l.8】）得出角CAB是直角的結論。這裡傳遞性的目的在于轉化對象，為結論作準備。

【l.30】一些直線平行于同一直線，則它們也互相平行。

【Xl.9】兩條直線平行于和它們不共面的同一直線時，這兩條直線平行。

這兩個命題都涉及到平行的傳遞性，前者是同一平面的，後者是不同平面的。在我上學的時候，教材裡把這者都作為公理（其中第一條的原文是“過直線外一點能作并且隻能作一條平行線”）。另外前者似乎在《原本》裡很少直接應用，我隻找到了一個不是太重要的：

【lV.7】求作已知圓的外切正方形

書中證明了GH、FK分别和AC平行，應用【lV.7】得出GH和FK平行，類似可以得出GF和HA平行，從而證明AFGH是平行四邊形，進一步可以證明該平行四邊形是正方形。

雖然【lV.7】似乎不甚重要（書裡隻在第十二卷證明圓面積和圓錐體積的時候提到過，不過也不甚必須的），但【l.31】依然很重要，因為它能代替那條著名的而且也是很啰嗦的公設5。

【Xl.9】用來證明以下幾個命題：

【Xl.10】如果相交的兩條直線平行于不在同一平面内兩條相交的直線，則它們的夾角相等。

【Xl.15】如果兩條相交直線平行于不在同一平面上的另外兩條相交直線，則兩對相交直線所在的平面平行。

【Xl.38】如果一個立方體相對面的邊被平分，又經過分點做平面，則這些平面的交線和立方體的對角線互相平分。

【Xl.17】已知兩個同心球，在大球内作内接多面體，使它與小球面不相切。

以上的最後一個命題是為證明球體積和半徑成正比做準備。這一命題是說，我們可以在大球内作一個非常貼近小球的内接多面體。

【V.11】凡與同一個比相同的比，它們也彼此相同。

比例論是《原本》的重要組成部分。在現代數學裡，因為是把兩個量的比看作為除法（得到一個具體的數），所以上述關于比的傳遞性命題無須單獨論述，但《原本》裡不是這樣，大家可以自行查閱有關《原本》中“比例論”的介紹。這一命題運用非常頻繁，至少涉及四十多個命題，下面略舉數例。

這一命題首先用來比例的若幹性質，如下面的更比命題：

【V.16】如果四個量成比例，則它們的更比例也成立。

原文意思是，若A:B=C:D,則A:C=B:D。這裡《原本》依照比例的定義，找到一組中間量-------A、B的同倍量E和C、D的同倍量F-----作為過渡，猶如今天我們設A:B=C:D=K一樣。其餘如合分比、首末比的證明也類似，并且這些性質在後文的應用也非常頻繁。

【Vl.2】如果一條直線平行于三角形的一邊，則它截三角形的兩邊成比例線段……

以上即平行線等分線段命題，省略了的後半段是它的逆命題。證明方法是：如圖，

【Vl.17】如果兩直線被平行平面所截，則截得的線段有相同的比。

這是【Vl.2】的立體形式，直接以【Vl.2】和【V.16】作依據立刻可以得出結論。

下面還有兩個傳遞性命題，也用到了【V.11】，不再介紹其應用。

【Vl.21】與同一直線形相似的圖形，它們彼此也相似。

【X.12】與同一量可公度的兩量，彼此也可公度。

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