了解方程的曲線與曲線的方程的對應關系.
知識點詳解一、曲線與方程的概念
一般地,在直角坐标系中,如果某曲線C(看作點的集合或适合某種條件的點的軌迹)上的點與一個二元方程f(x,y)=0的實數解建立了如下的關系:
(1)曲線上點的坐标都是這個方程的解;
(2)以這個方程的解為坐标的點都是曲線上的點.
那麼,這個方程叫做曲線的方程;這條曲線叫做方程的曲線.
二、坐标法(直接法)求曲線方程的步驟
求曲線的方程,一般有下面幾個步驟:
(1)建立适當的坐标系,用有序實數對(x,y)表示曲線上任意一點M的坐标;
(2)寫出适合條件p的點M的集合P={M|p(M)} ;
(3)用坐标表示條件p(M),列出方程f(x,y)=0;
(4)化方程f(x,y)=0 為最簡形式;
(5)說明以化簡後的方程的解為坐标的點都在曲線上.
一般地,化簡前後方程的解集是相同的,步驟(5)可以省略不寫.若遇到某些點雖适合方程,但不在曲線上時,可通過限制方程中x,y的取值範圍予以剔除.另外,也可以根據情況省略步驟(2),直接列出曲線方程.
考向五 參數法求軌迹方程
考向六 圓錐曲線中的對稱問題
圓錐曲線上兩點關于直線對稱的問題是高考命題的一個熱點問題,該問題集垂直、中點弦、直線與圓錐曲線的位置關系、點與圓錐曲線的位置關系、方程、函數、不等式、點差法等重要數學知識和思想方法于一體,符合在知識網絡交彙處、思想方法的交織線上和能力層次的交叉區内設置問題的命題特點,此類試題綜合性強,但難度适中,對數學知識和能力的考查具有一定的深度,具有很好的選拔功能.圓錐曲線上兩點關于直線對稱的問題主要有聯立方程和點差法兩種解法.
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