1989年版《辭海》（縮印本）關于牛頓的介紹

題記

我不知道這個世界會如何看我，但對我自己而言我僅僅是一個在海邊嬉戲的頑童，為時而發現一粒光滑的石子或一片可愛的貝殼而歡喜，而我面前的偉大的真理的海洋依然未經探索。

——艾薩克·牛頓

牛吃草問題又叫牛頓問題，因由英國偉大的物理學家牛頓提出而得名。本文分為兩個單元論述牛吃草問題。第一單元是：經典著作中的牛吃草問題，談談牛頓提出的題目和蘇聯科普作家别萊利曼的解答。第二單元是：奧數視角看“牛吃草”問題，談談奧數教學對牛吃草問題的更深入更廣闊的發掘和拓展。祝閱讀愉快。

【經典著作中的牛吃草問題】

今天的話題是牛吃草問題，通過兩個例題的講解，希望大家都能掌握解題思路和具體方法。請先看第一個例題：牧場上的母牛。題目見圖1，别萊利曼的解答見圖2和圖3。

圖一：牧場上的母牛

這個題目的難點在于牧場上的草在勻速生長。如果忽略了這一點，就會這樣計算：70×24÷96=17.5這個答案當然是錯誤的。或者這樣計算：70×24÷30=56認為題目的第二個條件是矛盾的。這個看法當然是錯誤的。

圖二：題目分析

圖三：題目解答

别萊利曼的解題思路是這樣的：先引入一個輔助的未知數y，用它來表示牧場每天新長出來的草的數量。再根據題目條件進行分析，找到與y有關的等量關系，列方程式求出y，解決了問題最大的難點。設一頭牛一天的吃草量為1份草，已知y，就求出了1份草的數量。最後，設所要求的牛的頭數為x，根據天數×牛的頭數×1份草等于原有的草 新長出來的草的等量關系列方程式求解x。再看第二個例題：牛頓的問題。

圖四：牛頓的問題

圖五：分析與解答

這個例題比較難，詳細講解一下。首先需要設輔助未知數y=新長出來的草的數量。y與兩個條件有關：時間和面積。時間的單位是星期，面積的單位是頃。y是一個分數，分子是一頃地在一星期内新長出來的草的數量，分母是一頃地原有草的數量。y表示出一頃地一星期内新長出來的草占一頃地原有草的比值。例如，本題的y=1/12，意義是一頃地原有草的數量是1，一星期内一頃地新長出來的草的數量是1/12。明确了y的定義就容易知道，一片牧場新長出來的草的數量等于面積、時間和y這三個量的乘積。怎麼求出y呢？可以用一份草的概念列方程式來求。設一頭牛一星期吃草的數量是一份草，根據條件一和條件二可以列方程式求出y。牛吃草問題有兩個不變：草的生長速度不變和一頭牛一天的吃草量不變。這兩個不變是我們解題的依據。y求出來了就容易知道一份草的數量，問題也就迎刃而解。三片牧場的原有草量是一個固定值，等于牧場的面積。求出一份草的數量後，容易換算原有草量等于一份草的多少倍，問題的全部信息就都一清二楚了。現在我們知道新長出來的草的數量y=1/12=4.5/54，一份草=5/54，三片牧場原有草的數量分别是36份、108份和259.2份。

小學生是否還記得老師在課堂上講過的分數的意義？如果忘記了，讓我幫你回憶一下。

分數的意義

1、分數的意義：把單位“1”平均分成若幹份，表示這樣的一份或幾份的數，叫做分數。

2、分數單位：把單位“1”平均分成若幹份，表示這樣的一份的數叫做分數單位。

3、分數與除法的關系：除法中的被除數相當于分數的分子，除數相等于分母。被除數÷除數 = 用字母表示：a÷b= （b≠0）。

4、分數未帶單位表示兩個量之間的倍數關系；分數帶有單位表示一個具體的數量。

【奧數視角看“牛吃草”問題】英國著名物理學家牛頓提出的“牛吃草”問題的實質是消長問題。經過長時間的發展和演變，通過奧數視角看“牛吃草‘問題，會發現不一樣的風景。

A4紙抄錄的奧數“牛吃草”問題的解題寶典

“牛吃草問題”已經不再隻是簡單的牛吃草問題了，有很多的變形，像水池進水排水、自動扶梯上下、檢票口排隊、行程問題等問題，本質上都是“牛吃草問題”。牛吃草問題的難點在于草的總量在随時間變化，解題的關鍵在于用數學思維理清數量之間存在的變與不變的關系，找到等量關系，尋找平衡方程。解題方法也很多，有列表法，畫線段圖法（數形結合），方程（組）法等等方法。先來看看變與不變的情況：

牛的數量（是變化的）、

牛吃草的時間（也是變化的）、

青草的總數量（肯定是變化的）、

青草的生長速度（勻速的，不變量）、

牧場原有青草的數量（不變，是固定值）、

新長出的青草數量（生長速度不變，但總量随時間變化）

一份草的數量（不變，等于一頭牛一天的吃草量）

再看幾道例題，重點是用畫線段圖法（數形結合）解決牛吃草問題。

奧數方法解“牧場上的母牛”

請看上圖，在第一單元【經典著作中的牛吃草問題】中，我們已經介紹了列方程式法解“牧場上的母牛”。現在，我們用奧數的方法來解這道題目。請看上圖的線段圖，它能夠幫助我們理清思路，下一步就是列式計算了：

設一頭牛一天的吃草量為1份：

（1）先求每天能夠長出多少份草

（30×60-70×24）÷（60-24）=120÷36=3又3分之1（份）

（2）求原有草量有多少份

30×60-60×3分之10=1800-200=1600（份）

（3）求總草量（原有草量與新生長草量的和）

1600 3分之10×96=1600 320=1920（份）

（4）求牛的頭數

1920÷96=20（頭）

奧數的追及問題也是牛吃草問題

請看上圖，是否有點驚訝？這道題目明明是行程問題中的追及問題，怎麼奧數也把它歸入牛吃草問題呢？其實這道題目可以改編為牛吃草問題：青青牧場每天青草都在以均勻的速度生長，24頭牛可以6天把草吃空，20頭牛可以10天把草吃空，問19頭牛多少天可以把草吃空？你看，這兩道題目是不是本質都是一樣的呢？自行車代表青草的生長速度，快中慢三車代表不同數量的牛群的吃草速度，所以牛吃草問題也可以變形為行程問題中的追及問題。我們知道追及問題可以用公式來解：

追及時間=追及距離÷速度差

如果把三車從A地出發時，自行車所處位置稱為B點，那麼從A到B的路程就是公式中的追及距離。

先求自行車的速度：

（20×10-24×6)÷（10-6）=14（公裡/小時）

再求追及距離

24×6-14×6=60（公裡）

最後求題目所問的追及時間，套用公式：追及時間=追及距離÷速度差

追及時間=60÷（19-14）=12（小時）

驗算：快車的追及時間=60÷（24-14）=6（小時），與題目提供的條件一緻，證明計算無誤。

不但追及問題可以轉化為牛吃草問題，而且自動扶梯問題也是牛吃草問題。請看下面兩道例題。

自動扶梯順行問題

自動扶梯問題可以分為順行和逆行兩種類型。先看上圖的順行問題。畫出線段圖可以直觀地幫助我們分析問題，找到解題思路。利用公式：路程=速度×時間，可以算出電梯一分鐘行駛的台階數是：

（20×5-15×6）÷（6-5）=10（級/分鐘）

再求台階數就簡單了

20×5 10×5=150（級）

或15×6 10×6=150（級）

再看下面逆行的題目：

自動扶梯逆行問題

還是一樣的套路，先求電梯的行駛速度

（2×300-3×100）÷（300-100）=300÷200=1.5（級/秒）

再求電梯有多少級台階

2×300-1.5×300=150（級）

或3×100-1.5×100=150（級）

自動扶梯問題的總結：

順行的情況：電梯的台階數=男孩上樓台階數 電梯行駛台階數

=男孩速度×時間 電梯速度×時間

或 電梯的台階數=女孩上樓台階數 電梯行駛台階數

=女孩速度×時間 電梯速度×時間

逆行的情況：電梯的台階數=男孩上樓台階數-電梯行駛台階數

=男孩速度×時間-電梯速度×時間

或 電梯的台階數=女孩上樓台階數-電梯行駛台階數

=女孩速度×時間-電梯速度×時間

奧數方法解決牛吃草問題的總結：在小學這類問題常用到四個基本公式，分别是：　　（1）草的生長速度＝（對應的牛頭數×吃的較多天數－相應的牛頭數×吃的較少天數）÷（吃的較多天數－吃的較少天數）；　　（2）原有草量＝牛頭數×吃的天數－草的生長速度×吃的天數；　　（3）吃的天數＝原有草量÷（牛頭數－草的生長速度）；　　（4）牛頭數＝原有草量÷吃的天數＋草的生長速度。　　這四個公式是解決牛吃草問題的基礎。

最後，再介紹一道有關自動扶梯的例題，向著名的蘇聯科普作家别萊利曼緻敬。

地鐵的自動扶梯問題1

地鐵的自動扶梯問題2

莫斯科地鐵，被公認為世界上最漂亮的地鐵，按運營路線長度為全球第五大地鐵系統，按年客流量為全球第四繁忙暨亞洲以外第一繁忙的地鐵系統。1935年5月15日，蘇聯政府出于軍事方面的考慮，正式開通莫斯科地鐵。地下鐵道考慮了戰時的防護要求，可供400餘萬居民掩蔽之用。

地鐵站的建築造型各異、華麗典雅。每個車站都由國内著名建築師設計，各有其獨特風格，建築格局也各不相同，多用五顔六色的大理石，花崗岩，陶瓷和五彩玻璃鑲嵌除各種浮雕，雕刻和壁畫裝飾，照明燈具十分别緻，好像富麗堂皇的宮殿，享有“地下的藝術殿堂”之美稱。

莫斯科的地鐵車站像華麗的地下宮殿

雅科夫·伊西多羅維奇·别萊利曼(Yakov I. Perelman,1882–1942)，俄羅斯和蘇聯科普作家，是包括《趣味物理學》、《趣味代數學》、《趣味力學》《趣味天文學》《趣味幾何學》等許多科普圖書的作者，前蘇聯時期曾被翻譯成各種語言版本。為紀念别萊利曼對科普事業做出的卓越貢獻，在月球上有一處直徑46公裡的環形山就是以他的英文名：Perelman命名。

科學尚未普及，媒體還需努力。感謝閱讀，再見。

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