話題：#數學# #範疇論# #層論#

小石頭/編

前一篇，我們引入了預層的概念：

設 X 是 一個 拓撲空間（topological space）（即，規定 一些子集是開集 的 非空集合），若 F 使得，

• 對 X 中的 每個 開集 U，指定 一個 截影（section） 集合 F(U)；
• 對 X 中的 每個 開集關系 V ⊆ U ，指定一個 限制（restriction）映射 rᴜᴠ: F(U) → F(V)，并滿足：
• 對于 任意 開集 U，有 rᴜᴜ = idF(U)；
• 對于 任意 開集關系 W⊆V⊆U，有 rᴠᴡ ∘ rᴜᴠ = rᴜᴡ，即，下圖交換，

則 稱 F 為 X 上的 集合的 預層（presheaf）。

本篇我們将介紹與預層相關的最重要概念——莖。

——§ 起 §——

給定 X 中的一點 x，考慮 X 中 包括 x 的開集的 全體 Λ，我們發現 Λ 在包含關系 “⊇” 下滿足：

• 自反性：任意 U ∈ Λ ，有 U ⊇ U；
• 傳遞性：任意 U,V,W ∈ Λ ，若 U ⊇ V 并且 V ⊇ W， 則 U ⊇ W；
• 有向性：任意 相交的 U,V ∈ Λ， 存在 W ∈ Λ，使得 U ⊇ W 并且 V ⊇ W；

稱 這樣的 Λ 為 有向集 （directed set），而 Λ 通過 F 作用 得到，

(F(U))U∋x , (rᴜᴠ)U⊇V∋x

這 被稱為 正向系 （direct system）。

注：如 Λ 這樣，元素被用作下标 的集合，稱為 指标集。

将 有向集 和 正向系 畫成示意圖，進行對比，

我們自然會想到：可以找，

• 一個集合 A 與 x 對應，一組 映射 σᴜ: F(U) → A 與 U ∋ x 對應；

使得 上面 右圖交換，即，

• σv ∘ rᴜᴠ = σᴜ；

稱 這樣的 A, ( σᴜ)U∈Λ，為 正向系 的一個 目标（target）。不過遺憾的是，這樣的目标顯然不止一個，為了給x找一個唯一的确定目标相對應，我們 可通過 泛性 來進行篩選：

一個目标 A, ( σᴜ)U∈Λ ，若 滿足，

• 泛性（universal property）：任意 目标 B , (τᴜ)U∈Λ ，都存在 唯一映射 g: A → B， 使得 對任意 U ∈Λ，有 g ∘ σᴜ = τᴜ，即，下圖交換，則 稱為 正向系 的 正向極限（direct limit）。

雖然，這樣篩選出來的 正向極限，仍然不是唯一的，但是 正向極限 有如下性質：

• 任意 兩個 正向極限 都 自然同構（naturally isomorphic）；

證：若 B 也是 正向極限，則 存在 唯一 h: B → A ，滿足B到A的泛性： ∀ U ∈Λ, h ∘ τᴜ = σᴜ ，于是有如下交換圖，

進而 h ∘ g : A → A 就 滿足 A到自己的 泛性：∀ U ∈Λ, (h ∘ g) ∘ σᴜ = σᴜ ， 有如下交換圖，

而我們知道 idᴀ : A → A 也滿足泛性：∀ U ∈Λ, idᴀ ∘ σᴜ = σᴜ ，于是 根據唯一性，隻能是 h ∘ g = idᴀ。

同理可證 g ∘ h = idʙ，這說明 g 和 h 互逆，是雙射，于是 A ≌ B 。 ▉

因此，在 同構意義下 正向極限 唯一，我們不再區分它們，記為，

稱 Fₓ 為 預層 F 在 x 點處 的 莖（stalk），并 稱 其元素 為 芽（germ）。

注意：上面 定義的是 集合的預層上的莖，對于 Abel的預層來說，我們還額外要求，

• 目标 A, (σᴜ)U∈Λ 中，A 必須是一個 Abel群，而 每個 σᴜ 也必須是 群同态。

另外，層就是預層，因此 層上的莖 定義，就是 預層上的莖 的 定義不變。

——§ 承 §——​

以上僅僅是從理論上，給出了莖的定義，但是要證明其存在性，我們必須實實在在的從 一個預層中将其構造出來，為此，可以 考慮，

其中 ∐ 表示 無交并 （disjoin union），指的是：

• 不同 F(U) 和 F(V) 中的 同一個元素 s 在 C 中被視為不同的元素；

注：無交并 具體實現 可以用 序對 加以區分，即，

∐ F(U) = {(s, F(U)) | ∀ U ∈ Λ, ∀ s ∈ F(U) }

但一般來說，我們依然将 C 中的元素寫成 s 而非 (s, F(U))。

可以在 C 上定義關系，

• s ∈ F(U)) ∼ t ∈ F(V)) := ∃W ∈ Λ，W ⊆ U, V，rᴜᴡ(s) = rᴠᴡ(t)；

這是一種 等價關系，因為它滿足，

• 自反性：rᴜᴜ(s) = rᴜᴜ(s) ⇒ s ∼ s；
• 對稱性：s ∼ t ⇒ rᴜᴡ(s) = rᴠᴡ(t) ⇒ rᴠᴡ(t) = rᴜᴡ(s) ⇒ t ∼ s；
• 傳遞性：s₁ ∼ t ∧ t ∼ s₂ ⇒ rᴜ₁ᴡ₁(s) = rᴠᴡ₁(t₁) ∧ rᴠᴡ₂(t) = rᴜ₂ᴡ₂(s₂) ⇒ rᴡ₁,ᴡ₁∩ᴡ₂(rᴜ₁ᴡ₁(s)) = rᴡ₁,ᴡ₁∩ᴡ₂(rᴠᴡ₁(t₁)) ∧ rᴡ₂,ᴡ₁∩ᴡ₂((rᴠᴡ₂(t)) = rᴡ₂,ᴡ₁∩ᴡ₂(rᴜ₂ᴡ₂(s₂)) ⇒ rᴜ₁,ᴡ₁∩ᴡ₂(s) = rᴠ,ᴡ₁∩ᴡ₂(t₁) ∧ rᴠ,ᴡ₁∩ᴡ₂(t) = rᴜ₂,ᴡ₁∩ᴡ₂(s₂) ⇒ rᴜ₁,ᴡ₁∩ᴡ₂(s) = rᴜ₂,ᴡ₁∩ᴡ₂(s₂) ⇒ s₁ ∼ s₂；

這樣，所有與 s 相互等價的元素 組成的集合 稱為 等價類，記為 s‾，C 中的所有 等價類，将

C 完全分割，它們組成的集族，稱為 商集，記為 C/∼。對于每個 U ∈ Λ 可定義映射，

σᴜ: F(U) → A , s ↦ s‾

則 C/∼, (σᴜ)U∈Λ 構成 一個 目标。

接着，我們需要驗證該目标是 正向極限，直接通過定義來驗證比較麻煩，我們這裡引入，

正向極限判定定理：目标 A, (σᴜ)U∈Λ ，若 滿足，

• 對于任意 a ∈A， 都存在 U ∈Λ，使得 a ∈ Im(σᴜ)，也就是，有 s ∈ F(U), σᴜ(s) = a； (Ⅰ)
• 對任意 U, V ∈Λ, 任取 s ∈ F(U), t ∈ F(V) 都有，σᴜ(s) = σᴠ(t) 當且僅當 存在 W∈Λ，W ⊆ U,V，使得 rᴜᴡ(s) = rᴠᴡ(t)； (Ⅱ)

則 是正向極限。

很明顯，有，

• C/∼ 每個元素 s‾ ，因 C 是全體 F(U) 的無交并，故 s 必然來着 某個 F(U)，于是有 σᴜ(s) = s‾ ，條件 Ⅰ 滿足；
• σᴜ(s) = σᴠ(t) ⇔ s‾ = t‾ ⇔ s∼t ⇔ ∃W ∈ Λ，W ⊆ U, V，rᴜᴡ(s) = rᴠᴡ(t)，條件 Ⅱ 滿足；

因此 C/∼, (σᴜ)U∈Λ 是正向極限，于是 就有 F᙮ = C/∼，這樣我們 證明了：

• 任意 X 上的 預層 F 以及 任意 點 x ∈ X 都存在 莖 F᙮；

注意：以上莖的構造過程是對于 集合上的預層 而言的，而 對于 Abel群的預層的，小石頭會在後序文章中來介紹。

​——§ 轉 §——​

現在，讓我們來證明上面的定理，

證：設 B , (τᴜ)U∈Λ 是任意目标，對任意 a ∈ A ，利用條件Ⅰ，可取 s ∈ F(U) 使得 a = σᴜ(s) ，于是可令，

g(a) = τᴜ(s) ∈ B

這樣就定義了一個A到B的 映射 g: A → B，實際上，

若 存在 另外的 t ∈ F(V) 使得 a = σᴠ(t) ，則 σᴠ(t) = a = σᴜ(s) ，于是 由條件Ⅱ，有 rᴜᴡ(s) = rᴠᴡ(t)，再 結合 目标的定義 有，

g(σᴠ(t)) = τᴠ(t) = τᴡ(rᴠᴡ(t)) = τᴡ(rᴜᴡ(s)) = τᴜ(s) = g(σᴜ(s))

即，下圖交換，

所以，g 的确是單值的，是一個映射。而，對于任意 a = σᴜ(s) ∈ A， g 又 唯一滿足，

g(σᴜ(s)) = τᴜ(s)

即，g 符合 正向極限 的 泛性要求，于是 A, (σᴜ)U∈Λ 是 正向極限。▉

另外，不難證明 上面定理 的 逆定理 也成立，因此 這個 判定條件 還是 充要條件。

​——§ 合 §——​

對于有些具體的預層實例，我們并不一定需要用上面的構造方法來得到 莖，例如：前面 №2 中的 常預層 Aᵪ，其莖 F᙮ = A，而 σᴜ = idᴀ，這個很容易 直接定義驗證。

最後，需要說明，為了方便，很多《層論》書中，會将 正向極限的 符号隐去，即，不出現 Λ 和 σᴜ 這樣的符号，而是将莖記為：

同時，上面的判定定理也改寫如下，作為莖的重要性質：

• 對于 每個 芽 e ∈ F᙮ ，都存在 截影 s ∈ F(U)U ∋ x 使得 e = s᙮；
• 對于 任意兩個芽 s᙮, t᙮ ∈ F᙮（s ∈ F(U)U ∋ x, t ∈ F(V)V ∋ x）有， s᙮ = t᙮ 當且僅當 存在 開集 W ⊆ U ∩ V 使得 rᴜᴡ(s) = rᴠᴡ(t)。

我們以後也使用這種标記法。

補充：

對于任意 s, t ∈ F(U)，顯然有，

s = t ⇒ ∀ x ∈ U, sₓ = tₓ；

但是反過來，就不一定成立，我們隻能由上面的性質Ⅱ，得出，

存在 一個 開集 x ∈ Uₓ ⊆ U 使得 rᴜ,ᴜₓ(s) = rᴜ,ᴜₓ(t)；

不過 若 預層 F 還具有 ，

• 單一性：若 存在 開覆蓋 U = ∪i∈Λ Uᵢ ，使得 s 和 t 在每個覆蓋子集 Uᵢ 中的限制 相同，即 rᴜ,ᴜᵢ(s) = rᴜ,ᴜᵢ(t) ，則有 s = t；

則 顯然 U = ∪x∈U Uₓ 是一個滿足單一性的開覆蓋，于是可以得出 s = t。

附錄：

這裡，明确一下，拓撲空間的 定義。

非空集合 X 之所以 成為 拓撲空間 是因為 指定了 它的 全部 開子集 組成的集族 τ，當然這個指定不是完全任意的，我們要求 τ 中的開集 必須滿足：

• ∅, X 是開集，即 ∅, X ∈ τ；
• 任意多個 開集的 并 是開集，即，對任意指标集 Λ，有 (∀λ∈Λ，Uλ ∈ τ) ⇒ ∪λ∈Λ Uλ ∈ τ；
• 有限多個 開集的 交 是開集，即，對于任意有限指标集 Λ ，有 (∀λ∈Λ，Uλ ∈ τ) ⇒ ∩λ∈Λ Uλ ∈ τ；

稱 這樣的 τ 為 拓撲結構。

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（權且當做科普，莖的知識就介紹到這裡吧！接下來是 層化，有興趣的朋友可以關注小石頭的後續文章。）

（哎，這個系列，寫的實在太爛，是小石頭能力不夠，無法做到高屋建瓴的通俗易懂，實在是愧對大家的期望。）

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