話題:#數學# #範疇論# #層論#
小石頭/編
前一篇,我們引入了預層的概念:
設 X 是 一個 拓撲空間(topological space)(即,規定 一些子集是開集 的 非空集合),若 F 使得,
則 稱 F 為 X 上的 集合的 預層(presheaf)。
本篇我們将介紹與預層相關的最重要概念——莖。
——§ 起 §——
給定 X 中的一點 x,考慮 X 中 包括 x 的開集的 全體 Λ,我們發現 Λ 在包含關系 “⊇” 下滿足:
稱 這樣的 Λ 為 有向集 (directed set),而 Λ 通過 F 作用 得到,
(F(U))U∋x , (rᴜᴠ)U⊇V∋x
這 被稱為 正向系 (direct system)。
注:如 Λ 這樣,元素被用作下标 的集合,稱為 指标集。
将 有向集 和 正向系 畫成示意圖,進行對比,
我們自然會想到:可以找,
- 一個集合 A 與 x 對應,一組 映射 σᴜ: F(U) → A 與 U ∋ x 對應;
使得 上面 右圖交換,即,
- σv ∘ rᴜᴠ = σᴜ;
稱 這樣的 A, ( σᴜ)U∈Λ,為 正向系 的一個 目标(target)。不過遺憾的是,這樣的目标顯然不止一個,為了給x找一個唯一的确定目标相對應,我們 可通過 泛性 來進行篩選:
一個目标 A, ( σᴜ)U∈Λ ,若 滿足,
- 泛性(universal property):任意 目标 B , (τᴜ)U∈Λ ,都存在 唯一映射 g: A → B, 使得 對任意 U ∈Λ,有 g ∘ σᴜ = τᴜ,即,下圖交換,則 稱為 正向系 的 正向極限(direct limit)。
雖然,這樣篩選出來的 正向極限,仍然不是唯一的,但是 正向極限 有如下性質:
- 任意 兩個 正向極限 都 自然同構(naturally isomorphic);
證:若 B 也是 正向極限,則 存在 唯一 h: B → A ,滿足B到A的泛性: ∀ U ∈Λ, h ∘ τᴜ = σᴜ ,于是有如下交換圖,
進而 h ∘ g : A → A 就 滿足 A到自己的 泛性:∀ U ∈Λ, (h ∘ g) ∘ σᴜ = σᴜ , 有如下交換圖,
而我們知道 idᴀ : A → A 也滿足泛性:∀ U ∈Λ, idᴀ ∘ σᴜ = σᴜ ,于是 根據唯一性,隻能是 h ∘ g = idᴀ。
同理可證 g ∘ h = idʙ,這說明 g 和 h 互逆,是雙射,于是 A ≌ B 。 ▉
因此,在 同構意義下 正向極限 唯一,我們不再區分它們,記為,
稱 Fₓ 為 預層 F 在 x 點處 的 莖(stalk),并 稱 其元素 為 芽(germ)。
注意:上面 定義的是 集合的預層上的莖,對于 Abel的預層來說,我們還額外要求,
- 目标 A, (σᴜ)U∈Λ 中,A 必須是一個 Abel群,而 每個 σᴜ 也必須是 群同态。
另外,層就是預層,因此 層上的莖 定義,就是 預層上的莖 的 定義不變。
——§ 承 §——
以上僅僅是從理論上,給出了莖的定義,但是要證明其存在性,我們必須實實在在的從 一個預層中将其構造出來,為此,可以 考慮,
其中 ∐ 表示 無交并 (disjoin union),指的是:
- 不同 F(U) 和 F(V) 中的 同一個元素 s 在 C 中被視為不同的元素;
注:無交并 具體實現 可以用 序對 加以區分,即,
∐ F(U) = {(s, F(U)) | ∀ U ∈ Λ, ∀ s ∈ F(U) }
但一般來說,我們依然将 C 中的元素寫成 s 而非 (s, F(U))。
可以在 C 上定義關系,
- s ∈ F(U)) ∼ t ∈ F(V)) := ∃W ∈ Λ,W ⊆ U, V,rᴜᴡ(s) = rᴠᴡ(t);
這是一種 等價關系,因為它滿足,
- 自反性:rᴜᴜ(s) = rᴜᴜ(s) ⇒ s ∼ s;
- 對稱性:s ∼ t ⇒ rᴜᴡ(s) = rᴠᴡ(t) ⇒ rᴠᴡ(t) = rᴜᴡ(s) ⇒ t ∼ s;
- 傳遞性:s₁ ∼ t ∧ t ∼ s₂ ⇒ rᴜ₁ᴡ₁(s) = rᴠᴡ₁(t₁) ∧ rᴠᴡ₂(t) = rᴜ₂ᴡ₂(s₂) ⇒ rᴡ₁,ᴡ₁∩ᴡ₂(rᴜ₁ᴡ₁(s)) = rᴡ₁,ᴡ₁∩ᴡ₂(rᴠᴡ₁(t₁)) ∧ rᴡ₂,ᴡ₁∩ᴡ₂((rᴠᴡ₂(t)) = rᴡ₂,ᴡ₁∩ᴡ₂(rᴜ₂ᴡ₂(s₂)) ⇒ rᴜ₁,ᴡ₁∩ᴡ₂(s) = rᴠ,ᴡ₁∩ᴡ₂(t₁) ∧ rᴠ,ᴡ₁∩ᴡ₂(t) = rᴜ₂,ᴡ₁∩ᴡ₂(s₂) ⇒ rᴜ₁,ᴡ₁∩ᴡ₂(s) = rᴜ₂,ᴡ₁∩ᴡ₂(s₂) ⇒ s₁ ∼ s₂;
這樣,所有與 s 相互等價的元素 組成的集合 稱為 等價類,記為 s‾,C 中的所有 等價類,将
C 完全分割,它們組成的集族,稱為 商集,記為 C/∼。對于每個 U ∈ Λ 可定義映射,
σᴜ: F(U) → A , s ↦ s‾
則 C/∼, (σᴜ)U∈Λ 構成 一個 目标。
接着,我們需要驗證該目标是 正向極限,直接通過定義來驗證比較麻煩,我們這裡引入,
正向極限判定定理:目标 A, (σᴜ)U∈Λ ,若 滿足,
- 對于任意 a ∈A, 都存在 U ∈Λ,使得 a ∈ Im(σᴜ),也就是,有 s ∈ F(U), σᴜ(s) = a; (Ⅰ)
- 對任意 U, V ∈Λ, 任取 s ∈ F(U), t ∈ F(V) 都有,σᴜ(s) = σᴠ(t) 當且僅當 存在 W∈Λ,W ⊆ U,V,使得 rᴜᴡ(s) = rᴠᴡ(t); (Ⅱ)
則 是正向極限。
很明顯,有,
- C/∼ 每個元素 s‾ ,因 C 是全體 F(U) 的無交并,故 s 必然來着 某個 F(U),于是有 σᴜ(s) = s‾ ,條件 Ⅰ 滿足;
- σᴜ(s) = σᴠ(t) ⇔ s‾ = t‾ ⇔ s∼t ⇔ ∃W ∈ Λ,W ⊆ U, V,rᴜᴡ(s) = rᴠᴡ(t),條件 Ⅱ 滿足;
因此 C/∼, (σᴜ)U∈Λ 是正向極限,于是 就有 F᙮ = C/∼,這樣我們 證明了:
- 任意 X 上的 預層 F 以及 任意 點 x ∈ X 都存在 莖 F᙮;
注意:以上莖的構造過程是對于 集合上的預層 而言的,而 對于 Abel群的預層的,小石頭會在後序文章中來介紹。
——§ 轉 §——
現在,讓我們來證明上面的定理,
證:設 B , (τᴜ)U∈Λ 是任意目标,對任意 a ∈ A ,利用條件Ⅰ,可取 s ∈ F(U) 使得 a = σᴜ(s) ,于是可令,
g(a) = τᴜ(s) ∈ B
這樣就定義了一個A到B的 映射 g: A → B,實際上,
若 存在 另外的 t ∈ F(V) 使得 a = σᴠ(t) ,則 σᴠ(t) = a = σᴜ(s) ,于是 由條件Ⅱ,有 rᴜᴡ(s) = rᴠᴡ(t),再 結合 目标的定義 有,
g(σᴠ(t)) = τᴠ(t) = τᴡ(rᴠᴡ(t)) = τᴡ(rᴜᴡ(s)) = τᴜ(s) = g(σᴜ(s))
即,下圖交換,
所以,g 的确是單值的,是一個映射。而,對于任意 a = σᴜ(s) ∈ A, g 又 唯一滿足,
g(σᴜ(s)) = τᴜ(s)
即,g 符合 正向極限 的 泛性要求,于是 A, (σᴜ)U∈Λ 是 正向極限。▉
另外,不難證明 上面定理 的 逆定理 也成立,因此 這個 判定條件 還是 充要條件。
——§ 合 §——
對于有些具體的預層實例,我們并不一定需要用上面的構造方法來得到 莖,例如:前面 №2 中的 常預層 Aᵪ,其莖 F᙮ = A,而 σᴜ = idᴀ,這個很容易 直接定義驗證。
最後,需要說明,為了方便,很多《層論》書中,會将 正向極限的 符号隐去,即,不出現 Λ 和 σᴜ 這樣的符号,而是将莖記為:
同時,上面的判定定理也改寫如下,作為莖的重要性質:
- 對于 每個 芽 e ∈ F᙮ ,都存在 截影 s ∈ F(U)U ∋ x 使得 e = s᙮;
- 對于 任意兩個芽 s᙮, t᙮ ∈ F᙮(s ∈ F(U)U ∋ x, t ∈ F(V)V ∋ x)有, s᙮ = t᙮ 當且僅當 存在 開集 W ⊆ U ∩ V 使得 rᴜᴡ(s) = rᴠᴡ(t)。
我們以後也使用這種标記法。
補充:
對于任意 s, t ∈ F(U),顯然有,
s = t ⇒ ∀ x ∈ U, sₓ = tₓ;
但是反過來,就不一定成立,我們隻能由上面的性質Ⅱ,得出,
存在 一個 開集 x ∈ Uₓ ⊆ U 使得 rᴜ,ᴜₓ(s) = rᴜ,ᴜₓ(t);
不過 若 預層 F 還具有 ,
- 單一性:若 存在 開覆蓋 U = ∪i∈Λ Uᵢ ,使得 s 和 t 在每個覆蓋子集 Uᵢ 中的限制 相同,即 rᴜ,ᴜᵢ(s) = rᴜ,ᴜᵢ(t) ,則有 s = t;
則 顯然 U = ∪x∈U Uₓ 是一個滿足單一性的開覆蓋,于是可以得出 s = t。
附錄:
這裡,明确一下,拓撲空間的 定義。
非空集合 X 之所以 成為 拓撲空間 是因為 指定了 它的 全部 開子集 組成的集族 τ,當然這個指定不是完全任意的,我們要求 τ 中的開集 必須滿足:
- ∅, X 是開集,即 ∅, X ∈ τ;
- 任意多個 開集的 并 是開集,即,對任意指标集 Λ,有 (∀λ∈Λ,Uλ ∈ τ) ⇒ ∪λ∈Λ Uλ ∈ τ;
- 有限多個 開集的 交 是開集,即,對于任意有限指标集 Λ ,有 (∀λ∈Λ,Uλ ∈ τ) ⇒ ∩λ∈Λ Uλ ∈ τ;
稱 這樣的 τ 為 拓撲結構。
(權且當做科普,莖的知識就介紹到這裡吧!接下來是 層化,有興趣的朋友可以關注小石頭的後續文章。)
(哎,這個系列,寫的實在太爛,是小石頭能力不夠,無法做到高屋建瓴的通俗易懂,實在是愧對大家的期望。)
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