首先讓我們來做一個簡短的回顧:

矩陣乘法可以理解為一個特定的線性變換, 矩陣的列向量相當基向量 i: (1,0) 和 j: (0,1) 經過變換過後的到達向量.

(原諒我用鼠标進行的标注吧)

空間變換後的任何向量都可以由矩陣 A 的列向量線性表出, 而這些所有可能的結果, 也就是矩陣的列所張成的列空間(Column Space).

原先的空間經過這樣2x2 矩陣 A 線性變換後的空間可能會三種情況:

• 還是平面 -仍是二維空間;

• 被壓縮為一條線 - 變成了一維;

• 被壓縮到原點 - 零維;

在數學專業的詞彙來表示線性變換後空間的維數, 稱之為矩陣的秩( Rank ) . 換句話說, 列空間就是矩陣的列所張成的空間. 所以矩陣秩的另一種定義可以說是列空間的維數. 經過變換後被壓縮到原點的向量集合, 稱為矩陣 A 的"零空間"(Null Space)或"核"(Kernel), 記為 Null(A) 或 Ker(A).

對照上面的三種情況, 來分别來觀察.

第 1 種情況: 變換後仍是平面

如果經過矩陣 A 變換後的結果是一個平面, 則 rank( ) = 2, 空間沒有被壓縮扁平化, 因此可逆, 稱之為非奇異矩陣;

這樣秩與列數相等, 稱之為滿秩(Full Rank)矩陣.

對于滿秩矩陣來說, 變換後唯一落在原點的就是零向量本身, 也就是 dim Ker( ) = 0;

第 2 中情況: 變換後被壓縮為一條直線

• 當變換的結果是一條直線, 該矩陣是一維的, 稱rank(A) = 1, 此時矩陣不可逆, 稱為奇異矩陣;

• 這樣非滿秩矩陣, 會将空間壓縮到更低的一維直線上, 也就是由嫩綠色直線上一系列的向量在變換後成為零向量;

• 零空間的維度為 1, dim Ker(A) = 1;

第 3 種情況: 變換壓縮到原點

• 當變換的結果是壓縮到原點, 則該矩陣是零維的, 稱 rank(A) = 0;

• 而零空間維度為 2, dim Ker(A) = 2;

維數定理

假設 A 是 mxn 矩陣(非方陣的情況, 下次會介紹), 維數定理就是:

dim Ker(A) rank(A) = n

相信如果理解透徹 2x2 矩陣的情況, 那更高維的矩陣也就清楚了.

上面就是本次圖解線性代數所回顧的知識點. 好了, 現在讓我們在下一篇的中再見!

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