抽象代數研究對象是代數結構(集合 一套運算規則)，本文旨在介紹關于代數結構的基礎内容，旨在弄清群、環、域等代數結構間的關系。

數學的發展通常是先從簡單的開始，然後不斷放寬限制，推廣到更一般化。從初等代數到抽象代數很好說明了這一點。

算術(arithmetic)無疑是數學中最古老、最基礎和最初等的部分。算術研究數的性質及其運算。把數和數的性質、數和數之間的四則運算在應用過程中的經驗累積起來，并加以整理，就形成了最古老的一門數學——算術。值得一提的是，算術運算不僅僅指加減乘除，還可以是百分比、平方根、取幂和對數；算法的對象包括自然數、整數、有理數和實數(興許還包括複數)；進制不僅僅是十進制，還可以是二進制、十六進制、六十進制，算術的最大特點是關注具體數字。

用符号(成了變量)代替具體的數字，就可以得到更一般化(generalization)的等式，舉例如下：

初等代數(elementary algebra)是古老算術的推廣與發展。在古代，算術積累了大量數量問題的解法，為尋求更系統、更普遍的求解各種數量關系方法，就産生了以解方程為中心的初等代數。從實際問題的數量關系(即代數式：整式、分式、根式)、等量關系(或者不等式)列出列出方程或者方程組。方程(組)包括一元/二元一次方程(linear equations with one/two variable)、一元二次方程(quadratic equations)、指數和對數方程(exponential and logarithmic equations)、無理方程(radical equations)、線性方程組(system of linear equations)。

高等代數相對于初等代數而言，本質上是一個東西，隻是更加系統(深度 廣度)。

初等代數再進一步推廣(generalization)，那就是抽象代數了。初等代數與抽象代數的界限在于初等代數隻考慮實數和複數代數結構。

抽象代數(abstract algebra)、近世代數、現代代數(modern algebra)指的都是同一個意思(甚至直接稱為代數學)。抽象代數主要研究對象是代數結構，包括群、環、域、向量空間。

伽羅瓦(Évariste Galois, 1811-1832)是現代群論的創始人(與阿貝爾獨立發明)，他利用群的概念徹底解決了用根式求解代數方程的可能性問題(稱為伽羅瓦理論)，系統闡釋了為何五次以上之方程式沒有公式解，而四次以下有公式解，使代數學從解方程的科學轉變為研究代數結構的科學，即把代數推廣到抽象代數。

線性代數是抽象代數特殊的一類，其代數結構為：向量空間(vector spaces，也叫線性空間) 線性變換(linear mappings)。很容易将線性代數和矩陣理論等同起來，但其實是不一樣的，讨論線性變換是基于選定一組基的前提下。

既然抽象代數研究對象是代數結構(algebraic structure)，那什麼是代數結構呢。看了多個不同角度描述代數結構，如百度百科代數：代數是研究數、數量、關系與結構的數學分支。

《MIT牛人解說數學體系》中的描述最深入淺出，如下：

代數主要研究的是運算規則。一門代數， 其實都是從某種具體的運算體系中抽象出一些基本規則，建立一個公理體系，然後在這基礎上進行研究。一個集合再加上一套運算規則，就構成一個代數結構(想想計算機的數據結構：數據 操作)。

抽象代數将初等代數的一些概念進行了延伸。

集合在樸素集合論(naive set theory)和公理化集合論(axiomatic set theory)的定義是不一樣的，前者指由一些元素組成；後者指具有某種特定性質事物的總體。

加号 被抽象為二元運算*(binary operation)，對兩個元素作二元運算，得到的新元素仍然屬于該集合，這叫封閉性(closure)。實際上，加減乘除都叫二元運算(二元指的是兩個操作數)。

0和1被抽象成單位元(identity elements)，0為加法單位元，1為乘法單位元。單位元是集合的一個特殊元素(跟二元運算有關)，滿足單位元與其他元素相結合時，不改變該元素，即滿足a ∗ e = a 與 e ∗ a = a。可見，單位元取決于元素與二元運算，如矩陣的加法單位元是零矩陣，矩陣的乘法單位元是單位矩陣。值得注意的是，有些集合不存在單位元，如正整數集合(the set of positive natural numbers)沒有加法單位元(no identity element for addition)。

負數推廣到逆元素(inverse element)，對于加法，a的逆元素是-a；對于乘法，a的逆元素是倒數a−1。直觀地說，逆元可以撤銷操作，如加了一個數a，再加上該數的逆元-a(相當于撤消操作)，結果還是一樣。

結合律(Associative property)是某些二元運算的性質，有些二元運算沒有結合律(如減法、除法、八元數)。

交換律(Commutative property)，改變二元運算符兩邊的元素不影響結果。并不是所有二次元運算都滿足交換律(如矩陣的乘法)。

代數結構(R, *)，二元運算根據封閉性、單位元、逆元、結合律、交換律，可以歸納成不同的群。本節介紹的group-like，從最不嚴格到嚴格(依次添加限制條件)，其關系圖如下：

圖1 群之間的關系

維基百科有一張表，給出更詳細的group-like間的關系，如下：

圖2 Group-like structures (source from here)

原群(magma)是一種基本的代數結構，隻要滿足兩元素作二元運算得到新元素仍屬于該集合，即封閉性。維基百科原文如下：

半群(Semigroup)，滿足結合律(associative property)的代數結構。V=<S，* >，其中二元運算*是可結合的，即(a*b)*c=a*(b*c)，則稱V是半群。

幺半群(monoid)在半群的基礎上，還需要滿足有一個單位元。

群(group)是兩個元素作二元運算得到的一個新元素，需要滿足群公理(group axioms)，即：

封閉性：a ∗ b is another element in the set

結合律：(a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c)

單位元：a ∗ e = a and e ∗ a = a

逆 元：加法的逆元為-a，乘法的逆元為倒數1/a，… (對于所有元素)

如整數集合，二次元運算為加法就是一個群(封閉性是顯然的，加法滿足結合律，單位元為0，逆元取相反數-a)。

阿貝爾群(Abelian Group)在群的基礎上，還需滿足交換律。如整數集合和加法運算，(Z, )，是一個阿貝爾群。

群公理：見2.4 群。

交換律：a b = b a

環在交換群基礎上，進一步限制條件。環、交換環、域間的關系如下：

圖3 環、交換環、域間的關系

維基百科有一張表從不同角度呈現這三者的關系，如下：

圖4 Ring-like structures (source from here)

環(ring)在阿貝爾群(也叫交換群)的基礎上，添加一種二元運算·(雖叫乘法，但不同于初等代數的乘法)。一個代數結構是環(R, , ·)，需要滿足環公理(ring axioms)，如(Z, , ⋅)。環公理如下：

封閉性：a b is another element in the set

結合律：(a b) c = a (b c)

單位元：加法的單位元為0，a 0 = a and 0 a = a

逆 元：加法的逆元為-a，a (−a) = (−a) a = 0 (對于所有元素)

交換律：a b = b a

結合律：(a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c)

單位元：乘法的單位元為1，a ⋅ 1 = a and 1 ⋅ a = a

(3)乘法對加法滿足分配律Multiplication distributes over addition

a ⋅ (b c) = (a ⋅ b) (a ⋅ c) for all a, b, c in R (left distributivity)

(b c) ⋅ a = (b ⋅ a) (c ⋅ a) for all a, b, c in R (right distributivity)

交換環(commutative ring)在環的基礎上，二元運算乘法還滿足交換律。

整環(integral domain)在交換環的基礎上，并滿足沒有零因子(如此，集合内任意兩個元素乘積均不等于0)。

域(Field)在交換環的基礎上，還增加了二元運算除法，要求元素(除零以外)可以作除法運算，即每個非零的元素都要有乘法逆元。由此可見，域是一種可以進行加減乘除(除0以外)的代數結構，是數域與四則運算的推廣。整數集合，不存在乘法逆元(1/3不是整數)，所以整數集合不是域。有理數、實數、複數可以形成域，分别叫有理數域、實數域、複數域。

從有限域到交換環一些代數結構的從屬關系如下：

Commutative rings ⊃ integral domains ⊃ integrally closed domains ⊃ unique factorization domains ⊃ principal ideal domains ⊃ Euclidean domains ⊃ fields ⊃ finite fields.

向量空間(vector space)是一些向量的集合。最熟悉的例子是幾何向量或矢量(Euclidean vectors, geometric vector, spatial vector)，表示具有大小和方向的對象，如

，矢量可以做加法(addition)和乘法(scalar multiplication)運算，舉例如下：

圖5 Vector addition and scalar multiplication (source from here)

其他例子，還包括坐标空間(Coordinate spaces)、複數、函數空間(Function spaces)、線性方程組(linear equations)。

摘抄維基百科Vector space部分内容如下：

給定域F，向量空間V記為F-向量空間。其二元運算：

向量加法： : V × V → V 記作 v w, ∃ v, w ∈ V

标量乘法：·: F × V → V 記作 a v, ∃a ∈ F 且 v ∈ V

向量加法結合律：u (v w) = (u v) w

向量加法的單位元：V存在零向量的0，∀ v ∈ V , v 0 = v

向量加法的逆元素：∀v∈V, ∃w∈V，使得 v w = 0

向量加法交換律：v w = w v

标量乘法與域乘法兼容性(compatibility): a(b v) = (ab)v

标量乘法有單位元: 1 v = v, 1指域F的乘法單位元

标量乘法對于向量加法滿足分配律：a(v w) = a v a w

标量乘法對于域加法滿足分配律: (a b)v = a v b v

另，若F是實數域ℝ，則V稱為實數向量空間；若F是複數域ℂ，則V稱為複數向量空間；若F是有限域，則V稱為有限域向量空間。

模(module)是對向量空間的推廣，将标量需為域(向量空間)推廣到任意環(模)。

代數(algebra)将algebra over a field中的域推廣到交換環。

格(lattice)是任意兩個元素都有上确界和下确界的偏序集合。

是時候，祭出這張圖了，圖片來源于這裡。YouTube還有一段小視頻講這張圖的，在這裡。

圖6 Mathematical Structures/Objects

用符号(成了變量)代替具體的數字，就可以得到更一般化(generalization)的等式，舉例如下：

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