今天老黃要利用拉格朗日中值定理的推論3，證明導函數單調則導函數必連續。即：
設f在(a,b)上可導，且f'單調，證明：f'在(a,b)上連續。
分析：我們不妨設f'在(a,b)上單調遞增，單調遞減也是一樣的道理，則在(a,b)上的任意一個自變量x0, 都存在某一鄰域U(x0)，包含于(a,b). 則在右鄰域中，導函數單調增，就有下界；在左領域中，導函數單調增，就有上界。根據極限的單調有界性定理，就可以知道導函數在x0的兩側極限都存在。
接下來就可以運用拉格朗日中值定理的推論3了。即導數極限定理：設函數f在某U(x0)内連續, 在U⁰(x0)内可導, 而且lim(x->x0)f’(x)存在, 則f在點x0可導, 而且f’(x0)=lim(x->x0)f’(x).
我們來看看f和它的導函數f'是否符合這個推論。f在U(x0)上顯然是連續且可導的，導函數在這個點的兩側極限剛剛被證明存在，因此這裡僅能得到，導函數在這個點兩側都連續。
由于函數在這個點可導，因此左右導數相等，都等于函數在這個點的導數，所以導數的左右極限也相等，也都等于這個點的導數，這就說明導函數的确在這個點連續。
最後由x0的任意性，就可以證明導函數在(a,b)連續。接下來組織證明過程：
證：不妨設f’在(a,b)上單調遞增，則
對任一x0∈(a,b)，必存在的x0某一鄰域U(x0)⊂(a,b).
∵f’在U (x0)内單遞增，∴有下界f’(x0)，
又f’在U-(x0)内單遞增，∴有上界f’(x0)，
∴lim(x->x0^ )f’(x)和lim(x->x0^-)f’(x)都存在，由拉格朗日中值定理的推論3，有
lim(x->x0^ )f’(x)=f ’(x0)；lim(x->x0^-)f’(x)=f-’(x0)；
而f ’(x0)=f-’(x0)=f’(x0)，
∴lim(x->x0^ )f’(x)=lim(x->x0^-)f’(x),
由x0的任意性知，f’在(a,b)内連續.
當導函數單調減時，證明的方法類似，請自己嘗試一下，加深印象。
,更多精彩资讯请关注tft每日頭條，我们将持续为您更新最新资讯!
zpostcode 
Recruit 
weather 
mreligion 
Yellowpages 
sport 
constellation 
shopping 
name 
game 
directory 
literature 
Word 
tour 
furnish 
Lottery 
tftnews 
lyrics 
News 
digital 
car 
dir 
Edu 
Finance 
