前一段時間看了李永樂老師的視頻，談到了卷筒衛生紙長度的計算方法。看了以後很受啟發，今天我們繼續探讨這個話題，并把它拓展到平面等距螺旋線長度的計算。

卷筒衛生紙

卷筒衛生紙的長度該如何計算呢？李永樂老師是從側面積的計算入手來解決問題的。衛生紙有兩個相同的側面，形狀都是圓環，計算這個圓環的面積很簡單，套用公式就行了。請看圓環的面積計算公式：

S=π（R²-r²）

這個公式就是說一個圓環的面積等于外圓面積減去内圓面積。公式中的S代表圓環面積，R是外圓半徑，r是内圓半徑。

衛生紙可以展開拉直，這時它的側面形狀從圓環變成了一個長方形，長方形的長就是我們想知道的未知數L：衛生紙的長度，寬就是衛生紙的厚度。在這個變形過程中，側面形狀雖然從圓環變成了長方形，但是面積不變，于是可以根據這個等量關系列方程求L：

π（R²-r²）=L·W

方程式中的W代表長方形的寬。把方程式變形一下：

L=S/W 【S=π（R²-r²）】

所以，隻有知道了衛生紙外圓、内圓和厚度這三個數據，就能夠求出長度L。

其實，這個問題的本質是求平面等距螺旋線的長度。

先看看我們在生活中遇到的這種螺旋線。

一盤蚊香

生活中很常見的蚊香就是平面等距螺旋線的實物化。這種螺旋線的長度應該怎麼計算呢？我們的思路是從簡單到複雜，從易到難。先談談怎麼計算同心圓的周長。請看下圖：

等距同心圓

這個同心圓的周長計算很簡單，把每個圓的周長算出來再相加就完事了。下圖是我們在生活中常見的同心圓的實物化形象。

飛镖靶盤

同心圓可以轉化為螺旋線。請看下圖：

一組等距同心圓變形為兩條等距螺旋線

從上圖可以很直觀地看出，一條通過圓心的直線将同心圓分為上下兩部分，将下半部分平移一個螺距，我們就得到了兩條等距螺旋線。平移後的結果可以展示為很形象的具體實物，請看下圖:

兩盤蚊香

再看一下軟件繪制平面等距螺旋線的繪圖過程，請看下圖：

圖1

AI繪制等距螺旋線

Adobe illustrator，常被稱為“AI”，是一個矢量圖創作軟件。看了上圖，對我們探索平面等距螺旋線長度的計算方法很有啟發。

明白了同心圓能夠變換為螺旋線，一個最簡單有力的計算方法呼之欲出：一條平面等距螺旋線的長度=對應的一組同心圓的周長之和的一半。換句話說，所求螺旋線長度=對應同心圓半圓弧長之和。

如果掌握了計算卷筒衛生紙長度的方法，那麼計算快遞粘膠帶、電工常用的絕緣粘膠帶、卷筒運輸皮帶等的長度也不在話下。

一組等距同心圓中，相鄰兩個圓的半徑之差如果稱為螺距，那麼同心圓變形而成的等距螺旋線相鄰兩圈的半徑之差也稱為螺距。

計算卷筒衛生紙的長度這個問題的本質是求平面等距螺旋線的長度。這條螺旋線的螺距就是衛生紙的厚度。衛生紙的側面是圓環，圓環的内外圓半徑之差稱為環寬。衛生紙在内芯芯筒上繞一圈，也就是旋轉360°可以稱為一圈或是一匝。環寬=螺距×匝數。環寬和螺距都是已知數，那麼匝數也能夠算出來了。

一匝的螺旋線長度等于兩個半圓的弧長之和，這兩個半圓的半徑之差是一個螺距。匝數增加就是螺距增加，從1個螺距到n個螺距，就是一個等差數列，公差是螺距。

下面我們來看一道例題，實際計算一卷包裝卷膜的長度。請看下圖：

自動包裝機使用的光電卷膜

假設這卷膜的圓環形橫截面内圓半徑是5cm，外圓半徑是23.112cm，卷膜厚度是0.008cm，求卷膜長度是多少米？

我們用Excel來計算。環寬=外圓半徑-内圓半徑=23.112-5=18.112（cm），螺距=卷膜厚度=0.008（cm）

第一個半圓周長到第四個半圓周長（cm）分别是15.70796， 15.7331， 15.75823 ，15.78336。第2265個半圓周長是72.6084893267948，求和為100018.3825（cm），約等于1000米。把這2265個半圓依從小到大的順序連續地纏繞在内芯卷筒上，就是這卷光電膜的實際長度。

這圈膜以三面封的形式制袋，按每個小袋袋長9.5cm計算，可以制100000÷9.5=10526.3158袋。這卷膜用了一部分沒有用完，我們想知道還剩餘多少米的長度，那麼可以測量環寬，在剛才編制的Excel表格中查找數據，就能夠知道卷膜的長度了。

補充一個計算卷膜長度的簡單方法。請看下圖：

塑料材質簡介

在圖中查看你要計算的卷膜是什麼材質，相應的比重是多少。下圖對你的判斷可能有幫助。

常見塑料袋的材質

隻要知道了卷膜的比重，就可以稱重量計算體積，算出體積就自然能夠求出卷膜的長度了。

更簡單的方法是稱卷膜的毛重，即卷膜本身重量加上内芯卷筒的重量，再減去内芯卷筒的重量得到卷膜的淨重。卷膜的淨重和卷膜長度成比例，用這個比例就能夠計算出卷膜長度。

在測量環寬時，必須找準圓心，否則測量數據不準确導緻計算出現較大誤差。現在補充介紹一個知識點：已知一個弓形，如何找圓心，計算半徑、圓心角、弧長和面積等。請看下圖：

圖中黃色部分就是弓形

圓的一條弦把圓分割為兩個部分，隻要這條弦不是直徑，那麼這兩部分面積不相等，包含圓心的那部分是個弓形，由一段優弧和弦組成；不包含圓心的那部分，是我們最常見的弓形，由一段劣弧和弦組成。一般而言，我們所指的弓形，就是不包含圓心的那個弓形。

相關計算公式見下圖：

弓形相關數據計算公式

圖上的弓形，如果我們知道弦長s和高度h，就能夠求出圓的半徑。計算的依據是圓的相交弦定理。

設P是圓内一點，弦AB和弦CD相交于點P，則有AP·PB=CP·PD

請看下圖：

弓形已知弦長和高度找圓心計算半徑示意圖

在弓形CED中，已知弦長CD和高度EF，就可以求出半徑R。直徑BE垂直平分弦CD，根據相交弦定理，CF·FD=EF·FB，如果我們設圓的半徑為R，弦CD的長度為B=2A，弓形高度EF為h，則可以推導出計算半徑的公式：

A²=h(2R-h)=2Rh-h² ∴R=(A² h²）/2h

計算實例如下：

計算實例

如圖，已知弓形AHB的弦長AB=16，高度CH=4，代入公式計算可得

R=（8² 4²）/2·4=80÷8=10

設:弓形的弦長為b，弓形的高為h, 半徑為: R, 弧長為: L, 圓心角為: θ,計算圓心角的公式為：θ=4arctan(2h/b).(單位為：弧度).

計算弧長的公式為：L=2πR*( θ/360)

弧度和角度的轉換公式：

弧度記為rad，角度記為deg，1πrad=180°，2πrad=360°

1rad=180°/π（約等于57.29577951°）

公式見下圖：

角度和弧度轉換公式

計算舉例：

31°6′等于多少弧度？

一度=60分，1分=60秒，π弧度=180°，所以

31°6′=[31/180 6/(180×60）]π

=311π/1800(弧度）

科學尚未普及，媒體還需努力。感謝閱讀，再見。

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