初二下學期幾何是個難點，其中平行四邊形和特殊平行四邊形是學生感到比較困難的地方。本篇内容主要講取菱形的證明方法。

證明菱形有兩大類四種方法

1、通過邊來證明菱形

• 四條邊都相等的四邊形是菱形
• 一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形

2、通過對角線來證明菱形

• 對角線互相垂直平分的四邊形是菱形
• 對角線互相垂直的平行四邊形是菱形

【注意】： 判定一個圖形是菱形，首先要注意判别對象是一個四邊形還是一個平行四邊形。

• 如果是一個平行四邊形添加的條件就少，隻需一組鄰邊相等或對角線垂直。
• 所判定的對象是普通四邊形所添加的條件就多，需要四邊相等或對角線垂直平分。

• 例1、如圖，O為△ABC邊AC的中點，AD∥BC交BO的延長線于點D，連接DC，DB平分∠ADC，作DE⊥BC，垂足為E．

求證：四邊形ABCD為菱形；

【分析】由角邊角證明△OAD≌△OCB，從而OD＝OB，所以四邊形ABCD是平行四邊形，再證明∠CBD＝∠CDB，得到BC＝DC，從而證明四邊形ABCD是菱形；

【反思與小結】本題利用全等證明一組對邊平行且相等從而證明四邊形為四邊形。再利用平行線 角平分線出等腰三角形證明出一組鄰邊相等進而證明出菱形。

• 例2、如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别是AB、AC的中點，過C作CF∥AB交DE延長線于點F，連接AF、DC．

求證：（1）DE＝FE；

（2）四邊形ADCF是菱形．

【分析】（1）由“AAS”可證△AED≌△CEF，可得DE＝EF；

（2）由對角線互相平分的四邊形是平行四邊形可證四邊形ADCF是平行四邊形，再根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到CD＝AD，即可證四邊形ADCF是菱形．

【反思與小結】直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半是一個非常重要的定理，看到題目中有中點，有直角就要考慮用這個定理解決問題。

（二）利用對角線互相平分的平行四邊形是菱形證明

• 例3、已知：如圖平行四邊形ABCD中，點O是AC的中點，過點O畫AC的垂線，分别交AD、BC于點E、F．求證：四邊形AFCE是菱形．

【分析】由平行四邊形的性質可得AE∥FC，由角邊角可證△AOE≌△COF，可得EO＝OF，可證四邊形AFCE是平行四邊形，又因為對角線互相平分，可證四邊形AFCE是菱形．

• ​例4．如圖，已知AC是▱ABCD的一條對角線，過AC中點O的直線分别交AD、BC于點E、F．

（1）求證：△AOE≌△COF；

（2）連接AF、CE，當EF與AC滿足什麼條件時，四邊形AFCE是菱形？請說明理由．

【分析】（1）由平行四邊形的性質得出AD∥BC，得出∠EAO＝∠FCO，由角邊角即可證出。

（2）由△AOE≌△COF，得出對應邊相等AE＝CF，證出四邊形AFCE是平行四邊形，再由對角線EF⊥AC，即可得出四邊形AFCE是菱形．

【反思與小結】第二問是一個條件開放式問題，在思考的時候從要滿足的結論四邊形AFCE是菱形入手思考。這也是條件開放式問題的一般思考方法。

• 例5．老師布置了一個作業，如下：

已知：如圖1▱ABCD的對角線AC的垂直平分線EF交AD于點F，交BC于點E，交AC于點O

求證：四邊形AECF是菱形

某同學寫出了如圖2所示的證明過程，老師說該同學的作業是錯誤的，請你解答下列問題：

（1）能找出該同學錯誤的原因嗎？請你指出來；

（2）請你給出本題的正确證明過程

【分析】（1）EF是AC的垂直平分線，但EF并沒有被平分，所以是錯誤的

（2）證明全等三角形，得出EO＝FO，證明出對角線垂直平分證明結論．

【反思與小結】利用對角線互相垂直平分證明菱形時，要注意互相二字。隻有一條對角線被平分是不行的。

• 例6．已知菱形的一個角與三角形的一個角重合，然後它的對角頂點在這個重合角的對邊上，這個菱形稱為這個三角形的親密菱形，如圖，在△CFE中，CE＝12，∠FCE＝60°，∠AFE＝90°，以點C為圓心，以任意長為半徑作AD，再分别以點A和點D為圓心，大于AD長為半徑做弧，交EF于點B，AB∥CD．

求證：四邊形ACDB為△CFE的親密菱形；

【分析】先根據四邊相等的四邊形是菱形證明圖形是菱形，再根據親密菱形的定義證明即可。

【反思與小結】根據四邊相等的四邊形是菱形證明圖形是菱形時，一定要注意證明四邊相等，缺一不可。有的同學在證明時，隻證三條邊相等，這是錯誤的。

• 例7、如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的圓交AC于點D，交BC于點E，延長AE至點F，使EF＝AE，連接FB，FC．

求證：四邊形ABFC是菱形；

【分析】根據圓周角定理得到∠AEB＝90°，根據線段垂直平分線的性質得到四邊相等從而證明圖形是菱形。

【反思與小結】圓周角定理和中垂線定理是解決這個問題的關鍵，在一些複雜題目中，綜合運用各種定理，找出基本圖形是解決幾何問題的難點。

菱形的證明是四邊形問題中的一大難點，方法多，比較接近，而且與矩形的判定方法容易混淆。在判定菱形時，還要與平行四邊形的判定結合在一起進行，所以綜合性強。正确分解圖形，合理選擇方法是證明此類問題的關鍵。

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