第94回

蝴蝶飛舞，洪水肆孽流沙河

攔水築壩，沙僧水上展神功

話說N号台風"蝴蝶"帶來強烈的降雨，引發流沙河洪水泛濫，位于上遊一座古橋被沖毀，如圖1就是這座連接上遊南北兩岸被毀後的殘橋，大橋上的DB部分已經毀壞斷掉.

洪水退後，大橋修複指揮部邀請沙僧當顧問，沙僧勘察現場後說："修複這座橋梁的第一步是需要先測量毀壞的橋梁DB的長."

"可是，直接測量DB的長很危險."工作人員問道，"能不能有其他的測量的方法？"

"你們看到對面斷橋上的旗杆AB了沒有？"沙僧站在站在斷橋CD上的點C處說，"你們在點C處先測量一下旗杆頂端A的仰角，然後前進到點D處，再測一下旗杆頂端A的仰角以及CD的長."

工作人員按照沙僧的吩咐一一照辦，并将測量結果呈報給沙僧說："沙總，在點C處測得旗杆頂端A的仰角是30°，前進10米到達點D處，測得旗杆的頂端A的仰角為45°."

"辛苦了各位，謝謝大家。"沙僧說，"現在的問題轉化為數學問題就是：已知△ABC中，∠ABC=90°，D是BC上一個點，∠ACB=30°，∠ADB=45°，CD=10，求BD的長。"

"BD是Rt△ABD的直角邊，而在這個直角三角形中，隻知道∠ADB=45°，不知道邊的長，如何求BD呢？"工作人員問。

"有了∠ADB=45°我們就可以知道BD=AB……"

"可是不知道旗杆AB的高又有什麼用呢？"一個工作人員說，"要不問一下看有誰知道旗杆高的沒有？"

"不用問了。在這種未知與未知之間存在相等關系的情況下運用方程就可以了。" 沙僧說，"設DB的長為x米，則由∠ADB=45°，得旗杆AB的高度也是x米，則在Rt△ABC中，BC=x 10，AB=x，

由∠ACB=30°及tan∠ACB=AB/BC，得tan30°=AB/BC，

所以√3/3=x/(x 10)，

去分母，整理，得（3-√2）x=10√3，

所以x=10√3/(3-√3)=5√3 5≈13.66（米）.

因此，毀壞部分的橋BD的長為（5√3 5）米."

古橋修複後，指揮部在總結經驗與教訓時指出，此次古橋被毀，除了N号台風帶來的強降水這個天災外，還有一個原因是因為流沙河上遊的河床比較陡峭，河水流速快等因素，為了确保修複後的古橋更加穩固，建議在橋的下遊附近修築一座大壩，減緩上遊河水的流速，從而減輕河水對橋墩的沖擊力.

築壩工程隊接到任務後，設計了如圖2的大壩修建方案：其橫斷面為等腰梯形ABCD，壩頂寬10米，壩高12米，斜坡AB的坡度i=1：1.5.

在論證大壩設計方案會議上，許多對流沙河不熟悉的人沉默不語。會議主持人說："沙總，您對流沙河比較熟悉，說說你的看法。"

"我認為這個大壩的設計方案不切合實際."沙僧思考片刻後反對說，"因為流沙河上遊的河床比較陡峭，按照這個方案修建的話，大壩真的太大了。再說我們修建這個大壩的目的不是要攔水發電，隻是要減緩河水的沖擊力而已。而如此龐大的大壩要花費很多人力、物力和财力的，非常的不合算。"

"那該怎麼辦呢？"

"根據河床特征，把把壩頂寬10米縮短為6米，壩高12米降低為5米，迎水坡AB的坡度1：1.5可改為陡峭一些，就改為1：0.8吧，出水坡CD的坡度可改為平緩一些可以減小對大壩下遊的沖擊，我看把1：1.5改為1：2吧。"沙僧說完問道，"大家讨論一下我這個方案是否可行？如果可行的話，那麼這個方案比原方案我粗略算了一下起碼可以節省數千萬元。"

"非常合理。"小小會議室頓時響起了熱烈的掌聲，"隻是怎麼能節省那麼多錢呢？您又是根據什麼計算出來的呢？"

"我是這樣估算的。"沙僧說，"河寬估計有将近200米吧？如果這個估計無誤的話那就說明修建的這座大壩長至少也有200米，按目前的造價，修建大壩的費用時按土石方計算的，大約是每立方米500元。大家可以算一下原方案需要多少費用？改進後又是需要多少？然後比較一下就知道能節省多少錢了。"

"大家算一下原方案的大壩共有多少立方米？"主持人提示說，"先求大壩橫截面ABCD的面積，再乘以大壩的長200米就是大壩的土石方數了。"

"怎麼求橫截面積呢？"有許多人像是沒有上過學似的。

"橫截面是梯形，它的面積是上底加下底，乘以高除以2."沙僧說，"根據原設計方案，上底BC=10，高是12，先求下底AD的長。"

"如何求下底AD的長呢？"許多人還是不明白。

"還是我來解給大家看看吧。"沙僧說，"作梯形的高BE、CF，把壩底AD分成三段AE、EF、FD，再分别求之.

在Rt△ABE中，因為壩高BE=12米，斜坡AB的坡度i=1：1.5，所以BE/AE=1：1.5，即12/AE=1/1.5，所以AE=1.5×12=18（米）；

由于梯形ABCD是等腰梯形，所以DF=AE=18（米）；

又四邊形BCFE是矩形，所以EF=BC=10米.

所以AD=2AE BC=2×18 10=46（米）。

所以梯形ABCD的面積=1/2×（10 46）×12

=336（平方米），

所以原大壩的體積為336×200=67200（立方米），

需要費用為67200×500=33600000（元）=3360萬元。"

"按照您的方案需要多少萬元呢？"大家異口同聲問道。

"主持人，你給大家算一下吧。"

"仿照沙總的方法，改進後梯形的下底A/D=A/E EF/ F/D/

=4 6 10=20(米)，"主持人說，"所以，

橫截面梯形A/B/C/D/的面積等于1/2×（6 20）×5

=65（平方米），

體積為65×200=13000立方米，

所需要的費用為13000×500=6500000（元）=650（萬元）。

3360-650=2710。

你們看，可以節省2710萬元。"

"哇，真沒想到幾個數據稍作改動一下竟然節省了這麼多錢啊！"衆人發出驚歎後問道，"大壩的具體長度是多少米呢？"

"我們現在去測量一下河寬是多少就知道了。"

大家一起來到了河邊，滔滔的河水"轟轟"作響，震耳欲聾。有人建議找來幾個水性好的年輕人幫忙帶着細繩子遊過河的對岸去度量，馬上遭到了深谙水性的沙僧反對說："不行，水流這麼急太危險了。"

"那怎麼辦，難道說不過河可以測量出河寬？"

"大家看到河對岸那棵歪脖子柳樹了嗎？"沙僧站在如圖3的點A 處指着河對岸點B處的一棵柳樹對大家說，"這棵柳樹在我這個位置的北偏東30°方向上."

沙僧說完後大家随着他沿着河岸向正東方向行走，走了300米到達點C後停下來，回頭望着對岸的那棵歪脖柳樹對大家說："現在那棵柳樹恰好在我這個位置的西北方向（即北偏西45°）。有了這三個件就可以計算河寬了。"

"在△ABC中，隻知道∠BAC=90°-30°=60°，∠BCA=90°-45°=45°，AC=300米，怎麼求河寬呢？"大家疑惑地說，"再說∠ABC=180°-60°-45°=75°，△ABC又不是直角三角形。"

"因為要知道河寬，所以我們必須先找到或作出一條表示河寬的線段。"沙僧說，"過點B作BD⊥AC于D，則BD的長就是河寬。"

"可是不論是在Rt△ABD還是△BCD中，已知長的邊都沒有，怎麼求BD呢？"

"雖然如此，但不是有BD DC=AC=300嗎？"沙僧說，"設BD=x米，則在Rt△ABD中，AD＝BD·tan∠ABD=x·tan30°＝√3/3·x；

在Rt△BCD中，DC＝BD·tan∠CBD=x·tan45°＝x。

所以√3/3·x x=300，

解得x=900/(3 √3) =150（3-√3）≈190（米）。"

"光河寬就有190米，修建的大壩再加上兩端伸的壩墩的确需要200米長。沙總的估算真準啊！"

欲知後事如何，請看下回分解。

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