等差數列是常見數列的一種，可以用AP表示。

如果一個數列從第二項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，這個數列就叫做等差數列。

而這個常數叫做等差數列的公差，公差常用字母d表示。

（一）等差數列求和公式

1.公式法

2.錯位相減法

3.求和公式

4.分組法

有一類數列，既不是等差數列，也不是等比數列，若将這類數列适當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數列，然後分别求和，再将其合并即可。

5.裂項相消法

适用于分式形式的通項公式，把一項拆成兩個或多個的差的形式，即an=f(n 1)－f(n)，然後累加時抵消中間的許多項。

小結：此類變形的特點是将原數列每一項拆為兩項之後，其中中間的大部分項都互相抵消了。隻剩下有限的幾項。

注意：餘下的項具有如下的特點

1、餘下的項前後的位置前後是對稱的。

2、餘下的項前後的正負性是相反的。

6.數學歸納法

一般地，證明一個與正整數n有關的命題，有如下步驟：

（1）證明當n取第一個值時命題成立；

（2）假設當n=k（k≥n的第一個值，k為自然數）時命題成立，證明當n=k 1時命題也成立。

【例】

求證：

1×2×3×4 2×3×4×5 3×4×5×6 .……

n(n 1)(n 2)(n 3) =

[n(n 1)(n 2)(n 3)(n 4)]/5

證明：

當n=1時，有：

1×2×3×4 = 24 = 2×3×4×5/5

假設命題在n=k時成立，于是：

1×2x3×4 2×3×4×5 3×4×5×6 .……

k(k 1)(k 2)(k 3) =

[k(k 1)(k 2)(k 3)(k 4)]/5

則當n=k 1時有：

1×2×3×4 2×3×4×5 3×4×5×6 ……

(k 1)(k 2)(k 3)(k 4)=

1×2×3×4 2×3×4*5 3×4×5×6 ……

k(k 1)(k 2)(k 3) (k 1)(k 2)(k 3)(k 4)

= [k(k 1)(k 2)(k 3)(k 4)]/5 (k 1)(k 2)(k 3)(k 4)

= (k 1)(k 2)(k 3)(k 4)*(k/5 1)

= [(k 1)(k 2)(k 3)(k 4)(k 5)]/5

即n=k 1時原等式仍然成立，歸納得證

7.并項求和法

（常采用先試探後求和的方法）

例：1－2 3－4 5－6 …… （2n-1）-2n

方法一：（并項）

求出奇數項和偶數項的和，再相減。

方法二：

（1－2） （3－4） （5－6） …… [（2n-1）-2n]

方法三：

構造新的數列，可借用等差數列與等比數列的複合。

an=n(-1)^（n 1）

（二）等差數列判定及其性質

1.等差數列的判定

（1）a(n 1)--a(n)=d (d為常數、n ∈N*）[或a（n)--a(n-1)=d，n ∈N*，n ≥2,d是常數]等價于{a(n)}成等差數列。

（2）2a(n 1)=a(n) a(n 2) [n∈N*] 等價于{a(n)}成等差數列。

（3）a(n)=kn b [k、b為常數,n∈N*] 等價于{a(n)}成等差數列。

（4）S(n)=A(n)^2 B(n) [A、B為常數，A不為0，n ∈N* ]等價于{a(n)}為等差數列。

2.特殊性質

在有窮等差數列中，與首末兩項距離相等的兩項和相等。并且等于首末兩項之和；特别的，若項數為奇數，還等于中間項的2倍。

即，a(1) a(n)=a(2) a(n-1)=a(3) a(n-2)=···=2*a中

【例】

數列：1，3，5，7，9，11中a(1) a(6)=12 ;

a(2) a(5)=12 ; a(3) a(4)=12 ;

即，在有窮等差數列中，與首末兩項距離相等的兩項和相等。并且等于首末兩項之和。

數列：1，3，5，7，9中a(1) a(5)=10 ; a(2) a(4)=10 ;

a(3)=5=[a(1) a(5)]/2=[a(2) a(4)]/2=10/2=5 ;

即，若項數為奇數，和等于中間項的2倍，另見，等差中項。

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