函數列與函數項級數（一）
1.什麼是函數列
雖然我們現在不知道函數列是什麼，但是我們知道什麼是數列。例如這個數列，而函數列就是用一個個函數來替換,例如，這就是一個函數列。
函數列的定義：設是一列定義在同一數集E（或區間E）上的函數，稱為定義在E上的函數列。
函數列也可以簡單地記作：，n=1,2,3,……或
2.函數列的收斂
一個數列中的數有時候是有限的，有時候是無限的。對于有限的數列不管數列裡有多少元素，我們都能知道它是一個什麼樣子，而對于一個無限的數列要想了解它是一個什麼樣子就不容易了。這個時候人們就好奇一個無限的數列到最後會成為什麼樣子？有的人突發奇想一個無限的數列到最後會不會趨近于某一個數，這就是數列的收斂問題。
對于一個無限的數列如果到最後它趨近于某一個數，那麼它就是收斂的，否則就是發散。
例如 這個數列随着n的不斷變大會不斷地趨近于0。
對于一個定義在數集E（或區間E）上的函數列 來說也會有同樣的問題，而且相比于數列更加複雜，我們不僅要考慮n，還要考慮自變量x。
函數列收斂的定義：設是定義在E上的函數列，取E
若=，則在處收斂，為收斂點。
其中，為極限函數
若=不存在，則在處發散，為發散點。
若對于E都有=,那麼在數集E上收斂，稱為的極限函數。記作：
例如 函數列，
當﹣1＜x＜1時，=
當X=1時，=
當X≤﹣1或X＞1時，不存在
所以，在上收斂。
3.函數列的一緻收斂
我們首先給出一緻收斂的定義：設函數列與函數定義在同一數集D上，若對任給的正數，總存在某一正整數N，使得當n＞N時，對一切x∈D，都有
＜ε
則稱函數列在D上一緻收斂于f，記作
這個定義也可以簡單地表述為是否存在一個N使得，無論x等于多少，隻要n＞N都收斂于。
例2在（0,1）上是否一緻收斂？
下圖為中的部分圖像
由這個圖像我們可以知道
當n=1時，隻有x趨近于0時函數才會趨近于0；
當n=2時，在x小于0.1之後才慢慢地接近于0；
當n=4時，在x小于0.3之後才慢慢地接近于0；
我們再結合下面這張圖
我們可以知道在1的左側，我們總是能夠找到一個數使得，這個數的n次方不趨近于0。
所以， 在（0,1）上不一緻收斂于0
在分析完之後，我們寫一下解題過程。
解：取=，x=
對任意一個正整數N，當n＞N 1時，有
所以， 在（0,1）上不一緻收斂。
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