原文作者：Marcus du Sautoy

翻譯: 行可愛 校對:曾麟程，[遇見數學 ]翻譯小組核心成員。

數學家具有很強的橫向思維能力。普林斯頓大學教授Enrico Bombieri認為，假如遇到了不可逾越的障礙：“當事情難以解決時，更好的做法通常是停下來問問自己：我的問題是可解的嗎？”

最先開始嘗試改變問題的是一個十五歲的男孩，卡爾·弗裡德裡希·高斯。十九世紀初，由于一塊小小的石頭，高斯一夜間成為了科學界的新星。這個世紀的開始伴随着一個新星球的發現，人們幸運地發現了位于火星和木星之間的一顆行星，并将它命名為谷神星。它的路徑被連續追蹤了幾個周，但是，它在路過太陽背面時失蹤了。高斯面臨的挑戰是在收集到的數據中找到規律。他向天文學家指出了可能會看到谷神星的天空區域。當然，他是對的。

但高斯不僅僅喜歡為星空尋找規律，他還熱愛數字。在所有他熱愛的關于數字的一切中，質數是他最鐘情的珠寶。他幼時有一本對數書，書的最後有一張質數表。奇異的是現在兩者被聯系在了一起，因為高斯設法在兩者之間找到了聯系。

卡爾·弗裡德裡希·高斯

高斯嘗試計算出有多少質數，而不僅僅是預測哪些數是質數。這就是最終解開質數的秘密的橫向思維。他問：質數在全部數字中占多大比例？他發現數字越大，質數越少.他做了一張表，記錄着質數所占的比例的變化.

例如，1000之内，平均每6個數中就有一個質數。

既然質數的分布看起來如此随機，也許擲骰子能夠提供一個很好的質數分布模型。也許大自然用“質數骰子”來選擇 1000 左右的質數，“質數”寫在一面，另五面空白。為了決定1000是不是質數，大自然擲骰子來看它是否落在質數的一邊。當然，這隻是一個啟發式模型。一個數要麼是質數，要麼不是質數，但高斯認為這個“質數骰子”也許會産生一個與真正的質數序列具有相似性質的數字序列。

當我們檢查越來越大的數字的是否為質數時，骰子有幾個面？對于1000左右的質數，大自然似乎使用了一個六面骰子；對于10000000左右的質數，需要一個15面骰子。（所以倫敦的某個電話号碼是質數的概率是1/15。）高斯發現，他那本含有質數表的書開頭的對數表，為确定質數骰子上有多少面提供了答案。

讓我們再看一遍高斯的質數統計表。每當高斯把第一列的數字變成原來的的十倍時，記錄骰子面數的最後一列中的數字大約會增加2.3。這樣，我們就得到了有關質數的一個規律。高斯意識到，還有一個函數也有同樣的功能，能把乘法變為加法，這就是對數函數。

17世紀，蘇格蘭男爵約翰·納泊爾第一次發現了質數函數在數學中的重要作用。當時的人們普遍認為納泊爾與惡魔結盟，因為他肩上扛着一隻黑烏鴉，拎着一隻小籠子裡的蜘蛛在城堡裡邊走邊咕哝着關于他的創世紀代數理論的預言。但今天，他因發明了對數函數被人銘記.

我們将數字 N 輸入到對數函數中，會輸出一個數字

它是下列方程的解。例如:

把輸入乘以 10，輸出就會加 1。

但是我們不必總是選擇 10 來做 x 的底數，選擇 10 隻是由于我們有十個手指。不同的對數函數可以有不同的底數。每當輸入乘以 10，高斯的質數骰子函數的輸出都會增加 2.3。這個函數類似于一個對數函數，這個對數函數的底數稱為 e=2.718281828459….

高斯猜測一個數N是質數的概率是1/log（N），其中，對數的底數取e。這是擲出一個有log（N）面的骰子，“質數”面朝上的概率。注意，當 N 變大時，log（N）也變大，在質數邊朝上的概率随之變小。随着數字增大，質數的分布越來越稀疏。

如果大自然将質數骰子擲 100000 次，有着不同面數的骰子分别能得到多少質數？如果骰子有一個固定的邊數，比如 6，那麼得到的質數個數大約是 100000/6，這是 1/6 加起來 100000 次的概率。現在高斯改變每枚骰子的面數.得到的質數的個數應該分别是

斯将質數的這一猜測精确化為一個稱為對數積分的函數，用 Li(N) 表示。高斯猜想與真實質數情況相比如何？我們可以看左邊的圖表。紅線是高斯用他的質數骰子得到的，藍線記錄的是質數的真實數目。

高斯的猜測并不完全準确。但當數字越來越大時，它是否足夠好呢？最佳的評價方法是記錄百分比誤差：看看高斯對質數的預測與實質數之間的差異占真實質數的百分比。

高斯認為，随着我們的考慮的數字越來越大，百分比誤差會越來越小。他不相信有什麼可怕的驚喜等着我們。他的猜想被稱為：高斯質數定理(Prime number theorem)：百分比誤差随着計數的增加而越來越小。

我們已經有了很多證據來證明這一點，但怎樣保證更大的 N 仍然符合這一規律呢？

1896 年，比利時人Charles de la Vallée-Poussin和法國人 Jacques Hadamard，證明了高斯是正确的。但要注意的是，此規律的持續存在性并不明顯。高斯還認為他的猜測總是高估了質數的數量。表中的數據讓這一點看起來無比正确.但 1912 年，劍橋的數學家Littlewood證明了高斯是錯的。盡管，高斯的猜測第一次低估質數的個數，是當 N 比可觀測宇宙中的原子數還要多時——這決不是實驗能夠揭示的。

高斯發現了大自然用來選擇質數的“質數骰子”。這些骰子的邊數随着所選擇的質數增大而增加。邊的數目像對數函數一樣增長。現在的問題是要确定這個骰子是如何落下的。正如一枚硬币很少豎立落下一樣，高斯仍然不知道這個骰子是如何落下的.

高斯的學生黎曼，發現音樂可以最好地解釋如何從高斯猜想的圖像得到質數的真實圖像。正如我們将在另一篇文章中發現的那樣，黎曼的音樂可以解釋大自然的骰子是如何真正地降落的.(完)

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