中考題最後的壓軸題中，經常出現與角度相關的問題。與平面直角坐标系結合，将三角形全等、三角形相似、三角函數、圓及二次函數等知識有機的結合在一起，考察學生對知識綜合、靈活應用的能力，同時考察學生解題方法的思路的靈活性，以及對數學學科思維的掌握情況。

平面直角坐标系下的角度相等問題，通常有以下幾種解題思路：

1、 利用三角形全等解決

2、 利用三角形相似解決

3、 利用三角函數解決

4、 利用圓的知識解決

下面分類舉例說明：

類型一、 利用三角形全等解決角度相等問題

例1、如圖，抛物線y＝ax2 bx 3（a≠0）與x軸交于點A（﹣1，0），B（3，0），與y軸交于點C，連接BC．

（1）求抛物線的表達式；

（2）點D（2，m）在第一象限的抛物線上，連接BD．在對稱軸左側的抛物線上是否存在一點P，滿足∠PBC＝∠DBC？如果存在，請求出點P的坐标；如果不存在，請說明理由．

【解析】：（1）∵抛物線y=ax^2 bx 3（a≠0）與x軸交于點A（-1，0），B（3，0），帶入兩點坐标即可。

∴抛物線的表達式為y=-x^2 2x 3；

(2) 設BP交軸y于點G，再根據點B、C、D的坐标，得到∠DCB=∠OBC=∠OCB=45°，進而判定△CGB≌△CDB，求得點G的坐标為（0，1），得到直線BP的解析式為y=- 1/3x 1，最後計算直線BP與抛物線的交點P的坐标即可．

【解答】解：（1）抛物線的表達式為y=-x^2 2x 3；(過程略）

（2）存在．

如圖，設BP交軸y于點G，

∵點D（2，m）在第一象限的抛物線上，

∴當x＝2時，m＝﹣2^2 2×2 3＝3，

∴點D的坐标為（2，3），

把x＝0代入y＝﹣x^2 2x 3，得y＝3，

∴點C的坐标為（0，3），

∴CD∥x軸，CD＝2，

∵點B（3，0），

∴OB＝OC＝3，

∴∠OBC＝∠OCB＝45°，

∴∠DCB＝∠OBC＝∠OCB＝45°，

又∵∠PBC＝∠DBC，BC＝BC，

∴△CGB≌△CDB（ASA），

∴CG＝CD＝2，

∴OG＝OC﹣CG＝1，

∴點G的坐标為（0，1），

設直線BP的解析式為y＝kx 1，

将B（3，0）代入，得3k 1＝0，

解得k＝﹣1/3，

∴直線BP的解析式為y＝﹣1/3x 1，

令﹣1/3x 1＝﹣x^2 2x 3，

解得x1=-2/3，x2＝3，

∵點P是抛物線對稱軸x＝1左側的一點，即x＜1，

∴x＝﹣2/3，

把x＝﹣2/3代入抛物線y＝﹣x^2 2x 3中，

解得y＝11/9，

∴當點P的坐标為（﹣2/3，11/9）時，滿足∠PBC＝∠DBC．

【總結】出現角等的條件時，可以将兩角構造在全等三角形中，利用全等的性質解決問題。

類型二：利用三角形相似解決角度相等問題

例2 、如圖，在平面直角坐标系xOy中，抛物線y=x^2 bx c與y軸交于點C，與x軸交于A，B兩點，點B的坐标為（3，0），直線y=﹣x 3恰好經過B，C兩點

（1）寫出點C的坐标；

（2）求出抛物線y=x2 bx c的解析式，并寫出抛物線的對稱軸和點A的坐标；

（3）點P在抛物線對稱軸上，抛物線頂點為D且∠APD=∠ACB，求P坐标．

【分析】（1）由直線y＝﹣x 3可求出C點坐标；

（2）由B，C兩點坐标便可求出抛物線方程，從而求出抛物線的對稱軸和A點坐标；

（3）因為P在對稱軸上，D為抛物線頂點，所以 PD垂直于x軸。△AFP為直角三角形。若∠APD=∠ACB，則作出輔助線AE垂直于BE，由三角形的兩個角相等，證明△AEC∽△AFP。線段AE、CE、AF都可求，根據兩邊成比例，便可求出PF的長度，從而求出P點坐标．

【解答】解：（1）y＝﹣x 3與y軸交于點C，故C（0，3）．

（2）∵抛物線y＝x2 bx c過點B，C，析式為y＝x^2﹣4x 3

∴對稱軸為x＝2，點A（1，0）．

（3）由y＝x^2﹣4x 3，

可得D（2，﹣1），A（1，0），

∴OB＝3，OC＝3，OA＝1，AB＝2，

可得△OBC是等腰直角三角形，

∴∠OBC＝45°，BC=3根2

如圖，設抛物線對稱軸與x軸交于點F，

∴AF＝1/2AB＝1．

過點A作AE⊥BC于點E．

∴∠AEB＝90度．

可得，BE=AE= 根2， CE=2根2

在△AEC與△AFP中，∠AEC＝∠AFP＝90°，∠ACE＝∠APF，

∴△AEC∽△AFP．

∴AE/AF=CE/PF

解得PF＝2．

或者直接證明△ABC∽△ADP得出PD＝3，

再得PF＝2．

∵點P在抛物線的對稱軸上，

∴點P的坐标為（2，2）或（2，﹣2）．

【總結】出現角等的條件時，可以将兩角構造在相似三角形中，利用相似對應邊成比例的性質解決問題。這類問題也可以用三角函數解決。見類型三。

類型三、利用三角函數解決角度相等問題

例3、（2018•濟南中考題改編）如圖1，抛物線y＝ax^2 bx 4過A（2，0）、B（4，0）兩點，交y軸于點C，過點C作x軸的平行線與抛物線上的另一個交點為D，連接AC、BC．點P是該抛物線上一動點，設點P的橫坐标為m（m＞4）．

（1）求該抛物線的表達式和∠ACB的正切值；

（2）如圖2，若∠ACP＝45°，求m的值；

【解析】（1）由點A、B坐标利用待定系數法求解可得抛物線解析式為y＝1/2x^2﹣3x 4，作BG⊥CA，交CA的延長線于點G，證△GAB∽△OAC，據此知BG＝2AG．在Rt△ABG中根據BG^2 AG^2＝AB^2，可求得AG．繼而可得BG，CG，根據正切函數定義可得答案；

（2）由題意可得，∠BCD=45°，若∠ACP＝45°，則∠ACB=∠PCD。即tan∠ACB=tan∠PCD。由（1）得tan∠ACB=1/3，所以tan∠PCD=1/3。過P做PH⊥CD于點H，設出P點坐标，列方程即可。

【解答】(1) 略tan∠ACB=1/3

（2）∵∠BCD=45°

若∠ACP＝45°，

則∠ACP=∠PCD。

即tan∠ACP=tan∠PCD。

由（1）得tan∠ACB=1/3，

∴tan∠PCD=1/3。

過P做PH⊥CD于點H

設P（m，1/2m^2﹣3m 4）

則HC=m PH=4-1/2m^2 3m-4=-1/2m^2 3m

∵tan∠PCD=1/3

∴ PH/HC=1/3

即（-1/2m^2 3m）/m=1/3

解得：m=16/3 或m=0（舍去）

∴ m=16/3

【總結】出現角等的條件時，即兩個角的正切值相等。從而列出方程解決即可。這類問題也可以用相似解決，見類型二。

類型四：利用隐圓解決角度相等問題

例4、（2018 日照中考題改編）如圖，點A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物線y=ax^ 2 bx c上．

（1）求抛物線解析式；

（2）在x軸下方且在抛物線對稱軸上，是否存在一點Q，使∠BQC=∠BAC？若存在，求出Q點坐标；若不存在，說明理由．

【解析】（1）設抛物線的解析式為y＝a（x 1）（x﹣3），将C（0，1）代入求得a的值即可

（2）首先依據點A和點C的坐标可得到∠BQC＝∠BAC＝45°，設△ABC外接圓圓心為M，則∠CMB＝90°，設⊙M的半徑為x，則Rt△CMB中，依據勾股定理可求得⊙M的半徑，然後依據外心的性質可得到點M為直線y＝﹣x與x＝1的交點，從而可求得點M的坐标，然後由點M的坐标以及⊙M的半徑可得到點Q的坐标．

【解答】解：（1）設抛物線的解析式為y＝a（x 1）（x﹣3），将C（0，1）代入得﹣3a＝1，解得：a＝﹣1/3，

∴抛物線的解析式為y＝﹣1/3x^2 x 1．

（3）存在．

∵A（﹣1，0），C（0，1），

∴OC＝OA＝1

∴∠BAC＝45°．

∵∠BQC＝∠BAC＝45°，

∴點Q為△ABC外接圓與抛物線對稱軸在x軸下方的交點．

設△ABC外接圓圓心為M，則∠CMB＝90°．

設⊙M的半徑為x，則Rt△CMB中，由勾股定理可知CM^2 BM^2＝BC^2，即2x^2＝10，解得：x＝根5（負值已舍去），

∵AC的垂直平分線的為直線y＝﹣x，AB的垂直平分線為直線x＝1，

∴點M為直線y＝﹣x與x＝1的交點，即M（1，﹣1），

∴Q的坐标為（1，﹣1﹣根5）．

【總結】出現角等的條件時，根據題目出現的條件，利用同弧所對的圓周角相等或同弧的圓周角是圓心角的一半，構造圓形解決問題。

總之，解決角度問題方法靈活多樣，涉及到的知識點繁多，需要多角度考慮問題。中考中，除角度相等外，還會出現角的倍數關系，下一篇我們來讨論這個問題。

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