數學的邏輯推理在實際的應用中，如運籌學、博弈論等中有廣泛的應用，日常的生活中到處都是邏輯用語。通過本知識點的學習，理解必要條件的意義,性質定理與必要條件的關系.充分條件的意義,判定定理與充分條件的關系.充要條件的意義,數學定義與充要條件的關系.掌握充分條件、必要條件的判斷方法.

一、必要條件與性質定理

1.推出(⇒)

若命題表示為“若p,則q”時,p是命題的條件,q是命題的結論.當命題“若p,則q”是真命題時,就說由p推出q,記作p⇒q.

2.必要條件

一般地,當命題“若p,則q”是真命題時,稱q是p的必要條件.也就是說,一旦q不成立,p一定也不成立,即q對于p的成立是必要的.

知識點解析

說條件是必要的,就是說該條件必須要有,是必不可少的.簡單地說,就是“有它不一定能成立,但沒它一定不成立”.

二、充分條件與判定定理

一般地,當命題“若p,則q”是真命題時,稱p是q的充分條件.

綜上,對于真命題“若p,則q”,即p⇒q時,稱q是p的必要條件,也稱p是q的充分條件.

知識點解析

1.說條件是充分的,也就是說這個條件足以保證結論成立.即要使結論成立,隻要有它就可以了.

2.可以把充分條件理解為“有之即可,無之也行”

如何從集合角度理解必要條件、充分條件?

一般地,如果A={x|p(x)},B={x|q(x)},且A⊆B,如圖所示,

那麼p(x)⇒q(x),因此p(x)是q(x)的充分條件,q(x)是p(x)的必要條件

三、充要條件

1.一般地,如果p⇒q,且q⇒p,那麼稱p是q的充分且必要條件,簡稱p是q的充要條件.記作p⇔q.

2.p是q的充要條件也常常說成“p成立,當且僅當q成立”或“p與q等價”.

3.當p是q的充要條件時,q也是p的充要條件.

提示：設集合A={x|p(x)},B={x|q(x)},若x具有性質p,則x∈A;若x具有性質q,則x∈B

判斷p是q的什麼條件時,有哪些可能情況?

(1)如果p⇒q,且q不能推出p,則稱p是q的充分不必要條件;

(2)如果p不能推出q,且q⇒p,則稱p是q的必要不充分條件;

(3)如果p⇒q,且q⇒p,則稱p是q的充要條件;

(4)如果p不能推出q,且q不能推出p,則稱p是q的既不充分也不必要條件

充分條件、必要條件、充要條件的判斷方法

1.定義法:(1)分清哪個是條件,哪個是結論.(2)判斷“若p,則q”及“若q,則p”的真假.(3)根據(2)得出結論.

2.集合法:寫出集合A={x|p(x)}及B={x|q(x)},利用集合間的包含關系進行判斷.

3.等價轉化法:将命題轉化為另一個與之等價的且便于判斷真假的命題.

4.特殊值法:對于選擇題,可以取一些特殊值或特殊情況,用來說明由條件(結論)不能推出結論(條件),但是這種方法不适用于證明題.

5.傳遞法:若問題中出現若幹個條件和結論,應先根據條件畫出相應的“推式圖”,再根據圖中推式的傳遞性進行判斷

思考提升

1.探究一個命題成立的充分不必要條件以及必要不充分條件時,往往可以先找到其成立的充要條件,然後通過對充要條件的範圍放大或縮小,得到相應的充分不必要條件或必要不充分條件.

2.如果p是q的充分不必要條件,那麼p并不是唯一的,可以有多個;同樣,如果p是q的必要不充分條件,那麼p也不是唯一的,可以有多個;但如果p是q的充要條件,那麼p是唯一的.

尋求q的充要條件有兩種方法

(1)等價轉化法:将原命題進行等價轉化,直至獲得其成立的充要條件,其中求解的過程也是證明的過程,因為過程的每一步都是等價的,所以不需要将充分性和必要性分開來證.

(2)非等價轉化法:先尋找必要條件,再證明充分性,即從必要性和充分性兩方面說明.

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