我們在利用一元二次方程解決問題的時候，通常先列方程，方程的結構類似于兩個一次方程的乘積等于某一個數值（一會給大家看具體例題）。正常的解法是先整理這個方程為一般形式，再運用公式法或者配方法，甚至是因式分解法（十字相乘法）求解。

那麼，有沒有簡單巧妙地方法來解這類方程呢？

接下來就分享給同學們一種更簡單更快的解題方法。相信同學們一定會從中受到啟發。我們一起來看下面這道題。

解析思路：

（1）觀察函數圖像，找出兩點的坐标，再利用待定系數法即可求出y與x之間的函數表達式

（2）根據“每千克的銷售利潤銷售數量＝總利潤”，即可得出關于x的一元二次方程，求解方程并檢驗.

解:（1）設y與x之間的函數表達式為y＝kx＋b，把（10，40），（18，24）代入得:

10k＋b＝40，18k＋b＝24，解得:k＝2，b＝60

∴y與x之間的函數表達式y＝-2x＋60（10≤x≤18）；

（2）通常方法解題：根據題意，得:（x-10）（-2x＋60）＝150，整理得: x²-40x＋375＝0，（利用公式解這個方程，步驟略）解得:x₁＝15，x₂＝25（不合題意，舍去）.

答:該經銷商想要每天獲得150元的銷售利潤，銷售價應定為15元

另一種簡單方法解題：我們在解方程（x-10）（-2x＋60）＝150時，可以作如下變形:

由（x-10）（-2x＋60）＝150，得: -2（x-10）（x-30）＝150，

∴（x-10）（x-30）＝-75，那麼轉化為方程［（x-20）＋10］［（x-20）-10］＝-75，

∴（x-20）²-10²＝-75，

∴（x-20）²＝100-75，

∴（x-20）²＝25，

∴x₁＝15，x₂＝25.

重點在這裡:（x-20）中的20是怎麼來的呢？

它是（x-10）與（x-30）的平均數，即（x-20）＝2［（x-10）＋（x-30）］，這樣可以将（x-10）（x-30）轉化為含有x的一次多項式與常數的平方差，即為［（x-20）＋10］［（x-20）-10］＝-75，再轉化為（x-20）²＝25，然後直接開平方就得到方程的根。

這樣的解題方法，我們可以稱之為“均值平方差”，這種方法同樣可以用來，解決二次函數的實際問題。

再給大家舉個例子：

（1）求日均銷售量p（桶）與銷售單價x（元）的函數表達式；

（2）若該經營部日均獲利1350元，那麼銷售單價是多少？

解:（1）設日均銷售量p（桶）與銷售單價x（元）的函數表達式為p＝kx＋b，根據題意，得:7k＋b＝500，12k＋b＝250，解得:k＝-50，b＝850.

答:日均銷售量p（桶）與銷售單價x（元）的函數表達式為p＝-50x＋850；

（2）根據題意，得:

（x-5）（-50x＋850）-250＝1350，

解得:x₁＝9，x₂＝13.

∵銷售單價不得高于12元桶，也不得低于7元桶，∴x＝13不合題意，

答:若該經營部日均獲利1350元，那麼銷售單價是9元

均值平方差:在解方程（x-5）（-50x＋850）-250＝1350時，方程可化為-50（x-5）（x-17）＝1600，

即（x-5）（x-17）＝-32，利用“均值平方差法”可得:

［（x-11）＋6］［（x-11）-6］＝-32，∴（x-11）²-6²＝-32，

∴（x-11）²＝4，∴x₁＝9，x₂＝13

這裡的11就是5加17的平均值，再結合平方差公式。同學們，看明白了嗎？

數學的學習就在于整體地學，學會聯系地學，學會善于總結和歸納。同學們還有更好的方法，要記得和我們一起分享哦。

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