随着數學核心素養的不斷推進和實施，對教學評價具有指導作用的中考試卷中出現了大量的圖形操作類新題型，通過對圖形的折、疊、轉、拼、平移等變換手段，為學生提供了一個自主動手實踐操作，觀察、分析、猜想并進行說理驗證的科學探究的問題情景，讓學生能在一個動态的情景中感悟知識的發生、發展過程、探索問題的結論和規律.真正理解圖形的性質，同時對培養學生的空間觀念，探索能力、創新思維能力有着重要的作用.有效地促進了學生學習方式的轉變.此類問題在"四邊形"知識點的考查方面表現的尤為突出.現摘取幾例與讀者共賞.

例1.你能用手中的矩形紙片折出一個菱形嗎？

（1）聰明的你能夠想出菱形應該怎樣折出來嗎？請你在下圖中畫出菱形的示意圖．

（2）在矩形ABCD中，設AB＝3，AD＝4，請你用尺規在圖中畫出面積最大的菱形（保留作圖痕迹，不用說明理由），标注上适當的字母，并求出這個菱形的面積．

（3）已知：平行四邊形ABCD的對角線交點為O，點E、F分别在邊AB、CD上，分别沿DE、BF折疊四邊形ABCD，A、C兩點恰好都落在O點處，且四邊形DEBF為菱形（如圖）．請你求出AB與BC的比值．

【分析】（1）以各邊中點折四角或将短邊對折即可；

（2）以BD為對角線，E、F分别在AD，BC上，且EF垂直平分BD，線段ED的長為x，在Rt△ABE中，由勾股定理可求得BE的長，即為DE的長，根據菱形面積公式可得結論；

（3）如圖3，由折疊證明E、O、F共線，根據菱形對角線互相垂直得：BD⊥EF，可得平行四邊形ABCD是矩形，設BC＝y，則AD＝y，BD＝2y，根據勾股定理可得：DC＝√3 y，計算AB/BC=√3y/y=√3.

【解答】（1）如圖1，

（2）作法：①連接BD，②作BD的中垂線，分别交AD、BC于E、F，

③連接BE、DF，則四邊形BEDF為所求作的菱形；

如圖2，設線段ED的長為x，

∵四邊形BFDE是菱形，∴ED＝BE＝x，

又∵矩形ABCD中AB＝3，AD＝4，∴AE＝4﹣x，

在Rt△ABE中，AE² AB²＝BE²，

∴（4﹣x）² 3 ²＝x²，解之得：x＝25/8，∴ED＝25/8，

∴S菱形EBFD＝ED•AB＝25/8×3＝75/8，

答：這個菱形的面積是75/8．

（3）如圖3，由折疊得：∠DAE＝∠DOE，∠DCB＝∠FOB，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠DAB＝∠DCB，

∴∠DOE＝∠FOB，∴E、O、F共線，

∵四邊形DEBF是菱形，∴BD⊥EF，

∴∠BOF＝∠BCF＝90°，∴▱ABCD是矩形，

設BC＝y，則AD＝y，由折疊得：OD＝OB＝BC＝y，∴BD＝2y，

在Rt△ADB中，由勾股定理可求得DC＝AB＝√3y，

∴AB/BC=√3y/y=√3．

【點評】本題考查了翻折的性質：對應角相等，對應邊相等，以及菱形和平行四邊形、矩形的性質和判定，勾股定理，相似三角形的判定和性質，菱形的面積的求法等知識點；解答時運用勾股定理的性質求解是關鍵．

本題若能制作一個矩形紙片，根據提供的條件，進行模拟實驗，通過折疊與複原的互逆過程的觀察、分析、體驗其中滲透的圖形變換思想，将折疊後的圖形複原為圖2，然後在借助軸對稱的性質（折疊前後重合的圖形關于折痕是全等的）及直角三角形的性質問題便可迎刃而解.

例2、已知有兩張全等的矩形紙片．

（1）将兩張紙片疊合成如圖1，請判斷四邊形ABCD的形狀，并說明理由；

（2）設矩形的長是6，寬是3．當這兩張紙片疊合成如圖2時，菱形的面積最大，求此時菱形ABCD的面積．

【分析】（1）作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，根據題意先證出四邊形ABCD是平行四邊形，再由AP＝AQ得平行四邊形ABCD是菱形；

（2）設BC＝x，則CG＝6﹣x，CD＝BC＝x，在Rt△CDG中，由勾股定理得出x，再求得面積．

【解答】（1）四邊形ABCD是菱形．

理由：作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，

由題意知：AD∥BC，AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，

∵兩個矩形全等，∴AR＝AS，

∵AR•BC＝AS•CD，∴BC＝CD，∴平行四邊形ABCD是菱形；

（2）設BC＝x，則CG＝6﹣x，CD＝BC＝x，

在Rt△CDG中，CG ² DG ²＝CD ²，

∴（6﹣x）² 3 ²＝x ²，解得x＝15/4，∴S＝BC•DG＝45/4．

【點評】本題是一道綜合性質的題目，考查了菱形的判定和性質、勾股定理和矩形的性質等知識點，是中考的常見題型．

本題以兩個寬度相等的矩形紙片為道具創設了一個特殊的四邊形——菱形的判定及變化的菱形周長取值問題的探究的數學情景，通過紙片不同位置的放置把平行四邊形、菱形、正方形有機的融合在一起.（1）問即可以通過構造全等三角形，也可以利用同一個圖形的面積不變證明.（2）如果同學們能夠自制道具，動手操作容易發現重合部分為正方形時，周長最小.當紙片如圖5放置時重疊的菱形的邊長最大，因而周長取得最大值.這充分說明了動手實踐進行"數學實驗"是我們探究問題，發現結論的一種重要手段，通過"做"數學的過程，可使我們直觀感悟産生心理體驗，為合理地猜想數學結論，培養合情推理、及邏輯推理提供可靠的保證.

例3.已知：如圖所示，△ABC為任意三角形，若将△ABC繞點C順時針旋轉180°得到△DEC．

（1）試猜想AE與BD有何關系？并且直接寫出答案；

（2）若△ABC的面積為3cm ²，求四邊形ABDE的面積；

（3）請給△ABC添加條件，使旋轉得到的四邊形ABDE為菱形，并說明理由．

（4）請給△ABC添加條件，使旋轉得到的四邊形ABDE為矩形，并說明理由．

【分析】（1）根據平行四邊形的判定定理和性質定理判斷即可；

（2）根據等底同高的三角形面積相等計算即可；

（3）根據對角線垂直的平行四邊形是菱形解答即可．

（4）根據對角線相等的平行四邊形是矩形解答即可．

【解答】（1）由旋轉的性質可知，CA＝CD，CB＝CE，

∴四邊形ABDE是平行四邊形，∴AE＝BD，AE∥BD；

（2）∵四邊形ABDE是平行四邊形，

∴△BCD的面積＝△DCE的面積＝△AEC的面積＝△ABC的面積＝3cm2，

∴四邊形ABDE的面積為12cm ²；

（3）∠ACB＝90°，

證明：由旋轉可知AC＝DC，BC＝EC，

∴四邊形ABDE是平行四邊形，

∵∠ACB＝90°，∴四邊形ABDE為菱形．

（4）當CA＝CB時，四邊形ABDE為矩形，

∵AD＝2AC，BE＝2BC，又CA＝CB，

∴AD＝BE，∴平行四邊形ABDE為矩形．

例4、長分别為a和b的兩個正方形ABCD和正方形CEFG，按圖1方式擺放，連接DG，過D作DM⊥DG交AB于點M，過M作MN⊥DM，過G作GN⊥DG，MN與GN交于點N．

（1）證明：四邊形DMNG是正方形，并求正方形DMNG的面積；

（2）在圖1中，正方形ABCD和正方形CEFG沿虛線剪開後能夠拼接為正方形DMNG，請簡略說明你的拼接方法；

（3）圖2是邊長為13的正方形A ₁B ₁C ₁D ₁，将它剪拼成邊長分别為5和12的兩個正方形，請簡略說明你的剪拼方法，（要求：用虛線畫出裁剪線，畫出剪拼後的兩個正方形，用數字标注剪拼前後需要移動的部分，并說明如何移動）

【分析】（1）首先判斷四邊形MNED是矩形，然後在Rt△ADM與Rt△CDE中，證明DM＝DE，進而得到四邊形MNED是正方形，利用DE ²＝CD ² CE ²＝a ² b ²，于是正方形MNED的面積為a ² b ²．

（2）如圖1，由三對全等三角形進行拼接，即可得到一個正方形；

方法：将②放到⑥的位置，③放到⑤的位置，④放到①的位置．

（3）如圖2，仿照圖1，将1放到2的位置，3放到4的位置，5放到6的位置：得到邊長為12的正方形EFGD1和邊長為5的正方形GC ₁AB．

【解答】（1）由作圖的過程可知：∠GDM＝∠DGN＝∠DMN＝90°，

∴四邊形MNGD是矩形，

在Rt△ADM與Rt△CDG中，

∵四邊形ABCD為正方形，∴AD＝CD，∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90°，

∴∠ADM ∠MDC＝∠GDC ∠MDC＝90°，∴∠ADM＝∠GDC，

∵∠A＝∠DCG＝90°，∴△ADM≌△CDG（ASA），∴DM＝DG，

∴四邊形MNGD是正方形．

∵DG ²＝CD ² CG ²＝a ² b ²，

∴正方形MNED的面積為a ² b ²．

（2）如圖1，可以證明圖中②與⑥位置的兩個三角形全等，⑤與③位置的兩個三角形全等，①與④位置的兩個三角形也全等．

所以将②放到⑥的位置，③放到⑤的位置，④放到①的位置，恰好拼接為正方形MNGD．

（3）如圖2，以C1D1為直徑畫圓，确定C1G＝5，D1G＝12，依次作垂線可得邊長為12的正方形EFGD1和邊長為5的正方形GC1AB，

将1放到2的位置，3放到4的位置，5放到6的位置．

【點評】本題是四邊形的綜合題，此題涉及到較多的知識點，有正方形的性質，全等三角形的判定與圖形的拼切，難度較大，解答（1）關鍵是證明出四邊形MNGD是正方形，解答（2）的關鍵是熟練掌握圖形拼切的方法．

本題設置了一個讓學生研究"将若幹個正方形拼接成一個大正方形"的課題，題目首先提供了一個用兩個全等的正方形分割後能拼接成一個大正方形（新拼成的正方形的面積等于原來兩個正方形面積的和）的模型，然後又給出了任意的兩個正方形如何拼出正方形的分割方法，讓學生用數學知識說明這種分割、拼合的方法的正确性，這樣降低了問題的難度，在說明的過程中需要同學們有敏銳的觀察力、分析能力.對于（2）需要有分析推理、大膽猜想的獨創精神，也就是說要學會從"特殊情況、簡單情況"入手，觀察分析推理，得出規律後再向"一般情況"推廣的研究問題的數學方法.事實上本問還滲透了一個"遞進拼合"的數學思維方法.

例5.如圖甲，平行四邊形ABCD外有一條直線MN，過A、B、C、D4個頂點分别作MN的垂線AA ₁、BB ₁、C∁ ₁、DD ₁，垂足分别為A ₁、B ₁、∁ ₁、D ₁．

（1）求證：AA ₁ C∁ ₁＝BB ₁ DD ₁；

（2）如圖乙，直線MN向上移動，使點A與點B、C、D位于直線MN兩側，這時過A、B、C、D向直線MN引垂線，垂足分别為A ₁、B ₁、∁ ₁、D ₁，那麼AA ₁、BB ₁、C∁ ₁、DD ₁之間存在什麼關系？

（3）如圖丙，如果将MN再向上移動，使其兩側各有2個頂點，這時過A、B、C、D向直線MN引垂線，垂足分别為A ₁、B ₁、∁ ₁、D ₁，那麼AA1、BB ₁、C∁ ₁、DD ₁之間又存在什麼關系？

【分析】（1）連接AC，BD相交于點O，作OO ₁⊥MN于點O1，根據梯形中位線定理即可得出結論；

（2）連接AC，BD交于點O，過點O作OG⊥MN，垂足為G，延長OG交AC1的連線于點H，可證明CC ₁﹣AA ₁＝BB1 DD ₁；

（3）連接AC，BD交于點O，連接DB ₁，AC ₁，過點O作OG⊥MN，G為垂足，延長OG交DB ₁于點K，交AC1于點H，利用三角形中位線定理可證明CC ₁﹣AA ₁＝DD ₁﹣BB ₁．

【解答】（1）證明：如圖甲，連接AC，BD相交于點O，作OO1⊥MN于點O ₁，∵AA ₁⊥MN，CC ₁⊥MN，∴AA ₁∥CC ₁，

∵O是AC的中點，∴AA ₁ CC ₁＝2OO ₁，

同理，BB ₁ DD ₁＝2OO ₁，∴AA1 C∁ ₁＝BB ₁ DD ₁；

（2）如圖乙，連接AC，BD交于點O，過點O作OG⊥MN，垂足為G，延長OG交AC ₁的連線于點H，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴O是線段AC的中點也是線段BD的中點．

∵CC ₁⊥MN，∴OH是△ACC ₁的中位線，

∴OH＝OG GH＝1/2CC ₁．

同理，GH＝1/2AA ₁，∴OG＝1/2（CC ₁﹣AA ₁），即2OG＝CC ₁﹣AA ₁．

∵DD1⊥MN，BB ₁⊥MN，

∴DD ₁∥BB ₁，∴OG是梯形DD1∥B ₁B的中位線，

∴DD ₁∥BB ₁＝2OG，∴CC ₁﹣AA1＝BB ₁ DD ₁；

（3）如圖丙，連接AC，BD交于點O，連接DB ₁，AC ₁，過點O作OG⊥MN，G為垂足，延長OG交DB ₁于點K，交AC ₁于點H，

∵CC ₁⊥MN，O是AC的中點，OH⊥MN，

∴OH是△ACC1的中位線，

∴OH＝OG GH＝1/2CC1．

同理，GH＝1/2AA ₁，OK＝1/2BB ₁，GK＝OG OK＝1/2DD ₁，

∴OG＝1/2CC ₁﹣GH＝1/2CC ₁﹣1/2AA ₁，即2OG＝CC ₁﹣AA ₁．

同理，2OG＝DD ₁﹣BB1，∴CC ₁﹣AA ₁＝DD ₁﹣BB ₁．

【點評】本題考查的是四邊形綜合題，此題比較複雜，解答此題的關鍵是作出輔助線，利用平行四邊形對角線互相平分的性質構造出梯形及三角形，利用梯形及三角形的中位線定理解答．

本題以平行四邊形為背景，以平移為變換策略，将靜态的數學與動态的變化結合起來，給數學注入了生命的活力.象這樣在"運動變化的幾何圖形"中，讓學生探究幾何圖形所具有性質的"變"與"不變"是中考最富有活力的一類幾何問題此類問題常先設置一個讓學生探索的問題情景，在獲得結論之後，再創設一個題設變化、圖形變化的問題環境，進一步探究對結論的影響.解決此類問題應對原命題的結構特征、輔助線的作法、解題的思維策略精心研究，然後在變化的幾何圖形中進一步審視原來輔助線的添作、證明方法能否遷移，進而拾級而上，抓住運動變化過程中的"不變因素"，利用"類比"的思維方法，方可獲得問題的答案.該題較好的考察了學生觀察、分析、判斷論證能力和探究創新能力；有利于培養學生嚴謹的思維習慣和缜密的治學态度.

牛刀小試：1.綜合與實踐

問題情境:

如圖，同學們用矩形紙片ABCD開展數學探究活動，其中AD＝8，CD＝6．

操作計算:

（1）如圖（1），分别沿BE，DF剪去Rt△ABE和Rt△CDF兩張紙片，如果剩餘的紙片BEDF是菱形，求AE的長；

操作探究:

把矩形紙片ABCD沿對角線AC剪開，得到△ABC和△C′DA′兩張紙片．

（2）将兩張紙片如圖（2）擺放，點C和點C′重合，點B，C，D在同一條直線上，連接A′A，記A′A的中點為M，連接BM，MD，發現△BMD是等腰直角三角形，請證明；

（3）如圖（3），将兩張紙片疊合在一起，然後将△A′DC′紙片繞點B順時針旋轉α（0°＜α＜90°），連接AC′和A′C，探究并直接寫出線段AC′與A′C的關系．

【解析】（1）由矩形的性質得出AB＝CD＝6，∠A＝90°，由菱形的性質得出BE＝DE＝AD﹣AE＝8﹣AE，在Rt△ABE中，由勾股定理得出方程，解方程即可；

（2）連接MC，證出△ACA'是等腰直角三角形，得出∠CA'A＝45°，由直角三角形斜邊上的中線性質和等腰三角形的性質得出A'M＝CM＝AM，∠MCA＝45°，CM⊥AA'，證出∠BCM＝∠DA'M，由SAS證明△BCM≌△DA'M，得出BM＝DM，∠BMC＝∠DMA'，由角的雇傭關系證出∠BMD＝90°，即可得出結論；

（3）延長AC'、A'C交于點M，由旋轉的性質得：BC'＝BA，BA'＝BC，∠A'BC＝∠ABC，∠BA'C＝∠BC'A，證出∠BAC＝∠BC'A＝∠BCA'＝∠BA'C，由四邊形内角和定理得出∠A'BC' ∠M＝180°，證出∠M＝90°，得出AC'⊥A'C，證明△ABC'∽△C'BA'，得出對應邊成比例AC′/A′C=AB/BC=3/4，即可得出AC'＝3/4A'C．

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