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差積公式李永樂

教育更新时间:2025-01-30 13:38:23

我們的李永樂老師最近在文章中提到調和級數，并從此講到了黎曼猜想，厲害了。我們這裡僅僅具體聊聊調和級數為什麼發散。

曆史上是誰最先證明調和級數是發散的呢？

文藝複興時代有位意大利數學家，名字叫蒙勾裡（Pietro Mengoli, 1625-1686），是博洛尼亞的神職人員。博洛尼亞這個地方出數學家不奇怪，貌似博洛尼亞有世界上最古老的大學。

差積公式李永樂（調和級數為什麼發散）1

蒙勾裡證明調和級數收斂僅僅依賴于下面的簡單不等式, 對所有的x>1，有

差積公式李永樂（調和級數為什麼發散）2

這就有矛盾。故調和級數不是收斂的。

中世紀黑暗時期法國學者奧穆雷（Nicole d'Oreme，約1323-1382）也給出過一個證明。

奧穆雷的方法則是逐次每2^n個項進行合并、估計。具體來說，他注意到

差積公式李永樂（調和級數為什麼發散）3

奧萊姆的這個證明也是現在教科書中通用的方法。

現在，利用簡單的微積分知識，也很快能證明。

差積公式李永樂（調和級數為什麼發散）4

方法是積分判别法。因

差積公式李永樂（調和級數為什麼發散）5

差積公式李永樂（調和級數為什麼發散）6

調和級數發散實際上是一件令人吃驚，違反直觀的事情。網上有位名叫“三江方士”的網友說：

“我斷斷續續算了20年，即便沒有得到答案，但我确信這個和值是有限的，而且很可能不會大于400。我苦于自己不是數學專業沒有快捷方法和先進機器，所以希望業界有心人士能來試一試，我相信這個課題比哥德巴赫猜想更有意義。”
我們上面注意到隻要把調和級數的項增加任意一個階

則前n項之和S_n超過400。這等價于要求n>exp(400)。這是一個巨大的數字。即使窮其一生，三江方士也計算不到這一項。也不能如三江方士所說，歸咎于沒有高明的計算機和計算技術，即便利用最好的計算資源，要逐項加也是不可能完成的任務。

調和級數的發散性的證明是數學史上的大事情。就如所有數學知識一樣，如果要從頭開始，其實都不是簡單的事情。
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