第一單元　分數加減法

　　一、分數的意義

　　1．分數的意義：把單位“1”平均分成若幹份，表示這樣的一份或幾份的數，叫做分數。

　　2．分數單位：把單位“1”平均分成若幹份，表示這樣的一份的數叫做分數單位。

　　二、分數與除法的關系，真分數和假分數

　　1．分數與除法的關系：除法中的被除數相當于分數的分子，除數相等于分母。

　　2．真分數和假分數：

　　分子比分母小的分數叫做真分數，真分數小于1。

　　分子比分母大或分子和分母相等的分數叫做假分數，假分數大于1或等于1。

　　由整數部分和分數部分組成的分數叫做帶分數。

　　3．假分數與帶分數的互化：

　　把假分數化成帶分數，用分子除以分母，所得商作整數部分，餘數作分子，分母不變。

　　把帶分數化成假分數，用整數部分乘以分母加上分子作分子，分母不變。

　　三、分數的基本質

　　分數的分子和分母同時乘或除以相同的數（0除外），分數的大小不變，這叫做分數的基本性質。

　　四、分數的大小比較

　　同分母分數，分子大的分數就大，分子小的分數就小；

　　同分子分數，分母大的分數反而小，分母小的分數反而大。

　　異分母分數，先化成同分母分數（分數單位相同），再進行比較。（依據分數的基本性質進行變化）

　　五、約分（最簡分數）

　　1．最簡分數：分子和分母隻有公因數1的分數叫做最簡分數。

　　2．約分：把一個分數化成和它相等，但分子和分母都比較小的分數，叫做約分。（并不是一定要把分數化成與它相等的最簡分數才叫約分；但一般要約到最簡分數為止）

　　注意：分數加減法中，計算結果能約分的，一般要約分成最簡分數。

　　六、分數和小數的互化：

　　1．小數化分數：将小數化成分母是10、100、1000…的分數，能約分的要約分。具體是：看有幾位小數，就在1後邊寫幾個0做分母，把小數點去掉的部分做分子，能約分的要約分。

　　2．分數化小數：用分子除以分母，除不盡的按要求保留幾位小數。（一般保留三位小數。）

　　如果分母隻含有2或5的質因數，這個分數能化成有限小數。如果含有2或5以外的質因數，這個分數就不能化成有限小數。

　　3．分數和小數比較大小：一般把分數變成小數後比較更簡便。

　　七、分數的加法和減法

　　1．分數方程的計算方法與整數方程的計算方法一緻，在計算過程中要注意統一分數單位。

　　2．分數加減混和運算的運算順序和整數加減混和運算的運算順序相同。在計算過程，整數的運算律對分數同樣适用。

　　3．同分母分數加、減法：同分母分數相加、減，分母不變，隻把分子相加減，計算的結果，能約分的要約成最簡分數。

　　4．異分母分數加、減法：異分母分數相加、減，要先通分，再按照同分母分數加減法的方法進行計算；或者先根據需要進行部分通分。根據算式特點來選擇方法。

　　第二單元　長方體（一）

　　1．認識長方體、正方體，了解各部分的名稱。

　　(1)表面平平的部分稱為面；兩面相交便形成了一條棱；而三條棱又交于一點，這個點叫作頂點。

　　(2)左面的面叫左面，右面的面叫右面，上面的面叫上面，下面的面叫下面（或叫底面），前面的面叫前面，後面的面叫後面。

　　(3)長方體有12條棱，這12條棱中有4條長、4條寬和4條高。正方體的12條棱的長度都相等。

　　（4）正方體是特殊的長方體。因為正方體可以看成是長、寬、高都相等的長方體。

　　（5）長方體的棱長總和=（長 寬 高）×4=長×4 寬×4 高×4

　　　　　長方體的寬=棱長總和÷4-長-高

　　　　　長方體的長=棱長總和÷4-寬-高

　　　　　長方體的高=棱長總和÷4-寬-長

　　　　　正方體的棱長總和=棱長×12

　　　　　正方體的棱長=棱長總和÷12

　　2．展開與折疊（正方體展開共11種）

　　第一類：1—4—1型6個

　　第二類：2—3—1型3個

　　第三類：2—2—2型（樓梯形）1個

　　第四類：3-3型1個

　　注意：（1）田字型與凹字型的全錯。

　　　　　（2）正方體展開至少和最多都隻剪開7條棱。

　　3．長方體的表面積

　　（1）表面積的意義：是指六個面的面積之和。

　　（3）長方體的表面積=長×寬×2 長×高×2 寬×高×2

　　　　　　　　　　　=（長×寬＋長×高＋寬×高）×2

　　（4）正方體的表面積=棱長×棱長×6

　　4．露在外面的面

　　（1）在觀察中，通過不同的觀察策略進行觀察。

　　如：一種是看每個紙箱露在外面的面，再加到一起；

　　另一種是分别從正面、上面、側面進行不同角度的觀察，看每個角度都能看到多少個面，再加到一起。

　　例如：如圖，4個棱長都是10厘米的正方體堆放在牆角處，露在外面的面積是多少？

　　解：首先應找出有多少個面露在外面：

　　如果用法一的方法來找：3 1 2 3=9（個）；

　　如果用法二的方法來找：從上面看有3個面，從右側面看有2個面，從正面看有4個面，共有3 2 4=9（個）。

　　因為每個面都是面積相等的正方形，所以露在外面的面積=10×10×9=900（厘米2）

　　答：露在外面的面積一共是900平方厘米。

（2）發現并找出堆放的正方體的個數與露在外面的面的面數的變化規律。

（3）求露在外面的面的面積=棱長×棱長×露在外面的面的個數。

　　第三單元　分數乘法

　　分數乘法（一）知識點：

　　(1)理解分數乘整數的意義：分數乘整數意義同整數乘法意義相同，就是求幾個相同加數的和的簡便運算。

　　(2)分數乘整數的計算方法：分母不變，分子和整數相乘的積作分子。能約分的要約成最簡分數。

　　(3)計算時，應該先約分再計算。

　　分數乘法（二）知識點：

　　(1)整數乘分數的意義：求一個數的幾分之幾是多少。

　　(2)理解打折的含義。例如：九折，是指現價是原價的十分之九。

　　補充知識點：

　　打幾折就是指現價是原價的百分之幾，例如八五折，是指現價是原價的百分之八十五。

　　現價=原價×折扣

　　原價=現價÷折扣

　　折扣=現價÷原價

　　買一贈一打幾折：出一個的錢拿兩個貨品，即1除以2等于零點五，五折

　　買三贈一打幾折：出三個的錢拿四個貨品，即3除以4等于零點七五，七五折

　　分數乘法（三）知識點：

　　1．分數乘分數的計算方法：分子相乘做分子，分母相乘做分母，能約分的可以先約分。（結果是最簡分數。）

　　2．比較分數相乘的積與每一個乘數的大小：

　　真分數相乘積小于任何一個乘數；

　　真分數與假分數相乘積大于真分數小于假分數。

　　乘數乘以<1的數，積<乘數；

　　乘數乘以=1的數，積=乘數；

　　乘數乘以>1的數，積>乘數；

　　3．求一個數的幾分之幾是多少，用乘法。（即已知整體和部分量相對應的分率，求部分量，用乘法）

　　4．倒數

　　（1）如果兩個數的乘積是1，那麼我們稱其中一個數是另一個數的倒數。倒數是對兩個數來說的，并不是孤立存在的。

　　（2）當互為倒數的兩個數分别作為長方形的長和寬時，長方形的面積是1。

　　（3）1的倒數仍是1；0沒有倒數。0沒有倒數，是因為0不能作除數。

　　（4）求一個數的倒數的方法：把這個數的分子、分母調換位置；其中整數可以看成分母是1的分數。

　　第四單元　長方體（二）

　　一、體積與容積概念

　　體積：物體所占空間的大小叫做物體的體積。（從外部測量）

　　容積：容器所能容納入體的體積叫做物體的容積。（從内部測量）

　　注意：

　　同一個容器，體積大于容積；當容器壁很薄時，容積近等于體積。如果容器壁忽略不計時，容積等于體積。

　　幾個物體拼在一起時，它們的體積不發生改變（它們占空間的大小沒有發生變化）

　　二、體積單位

　　1．認識體積、容積單位

　　常用的體積單位：立方米（m³）、立方分米（dm³）、立方厘米（cm³）

　　常用的容積單位：升、毫升，1升=1立方分米、1毫升=1立方厘米

　　2．感受1立方米、1立方分米、1立方厘米以及1升、1毫升的實際意義：

　　手指頭、蘋果、火柴盒體積較小，可用cm³作單位

　　西瓜、粉筆盒體積稍大，可以用dm³作單位

　　礦泉水瓶、墨水瓶可以用毫升作單位

　　熱水瓶等較大盛液體容器、冰箱可以用升作單位

　　我們飲用的自來水用“立方米”作單位

　　三、長方體的體積

　　1．長方體、正方體體積的計算方法

　　長方體的體積=長×寬×高，長用a表示，寬用b表示，高用h表示，體積用V表示，體積可表示為V=abh

　　正方體的體積=棱長×棱長×棱長，如果棱長用a表示，體積可表示為V=a³=a×a×a

　　長方體（正方體）的體積=底面積×高V=Sh

　　補充知識點：長方體的體積=橫截面面積×長

　　2．能利用長方體（正方體）的體積及其他兩個條件求出問題。

　　如：長方體的高=體積÷長÷寬

　　長=體積÷高÷寬寬=體積÷高÷長

　　注意：計算體積時，單位一定要統一；

　　表面積與體積表示的意義不一樣，單位不同，無法比較大小。

　　四、體積單位的換算 認識體積、容積單位。

　　常用的體積單位有：立方厘米（cm³）、立方分米（dm³）、立方米（m³）。

　　常用的容積單位有：升（L）、毫升（mL）

　　知識點：

　　1．體積、容積單位之間的進率：相鄰體積、容積單位間進為1000

　　　　1米³=1000分米³　1分米³=1000厘米³

　　　　1升=1分米³　1毫升=1厘米³　1升=1000毫升

　　2．體積、容積單位之間的換算方法：

　　體積、容積單位之間的換算，由高級單位化成低級單位乘進率，由低級單位化成高級單位除以進率

　　五、有趣的測量

　　1．不規則物體體積的測量方法：

　　一般都是把不規則物體的體積轉化成可通過測量計算的水的體積（注意液面是“升高了”還是“升高到”）

　　注意：在測量體積較小的不規則物體的體積時，要先測量出一定數量物體的體積，再算出一個物體的體積

　　2．不規則物體體積的計算方法：現在液體體積減去原來液體體積

　　第五單元　分數除法

　　一、分數除法（一）

　　分數除以整數的意義及計算方法。分數除以整數，就是求這個數的幾分之幾是多少。

分數除以整數（0除外）等于乘這個數的倒數。

　　二、分數除法（二）

　　1．一個數除以分數的意義和基本算理：一個數除以分數的意義與整數除法的意義相同；一個數除以分數等于乘這個數的倒數。

　　2．一個數除以分數的計算方法：除以一個數（0除外）等于乘這個數的倒數。

　　3．比較商與被除數的大小。

　　除數小于1，商大于被除數；

　　除數等于1。商等于被除數；

　　除數大于1，商小于被除數。

　　三、分數除法（三）

　　1．列方程“求一個數的幾分之幾是多少”的方法：

　　（1）解方程法：設未知數，這裡的單位“1”未知，所以設單位“1”為x，再根據分數乘法的意義列出等量關系式解這個方程。

　　（2）算術方法：用部分量除以它所占整體的幾分之幾（對應量÷對應分率=标準量）

　　2．判斷單位“1”：

　　一般來說，某個數的幾分之幾，“某個數”就是單位“1”

　　數比誰多幾分之幾或少幾分之幾，“比”字後面的數量就是單位“1”

　　誰是誰的幾分之幾，“是”字後面的數量就是單位“1”

　　四、倒數

　　1．理解倒數的意義：如果兩個數的乘積是1，那麼我們稱其中一個數是另一個數的倒數。倒數是對兩個數來說的，并不是孤立存在的。

　　2．求倒數的方法：把這個數的分子和分母調換位置。

　　3．1的倒數仍是1；0沒有倒數。（0沒有倒數，是因為在分數中，0不能做分母。）

　　第六單元　确定位置

　　确定位置（一）知識點

　　1．認識方向與距離對确定位置的作用。

　　2．能根據方向和距離确定物體的位置。

　　3．能描述簡單的路線圖。

　　确定位置（二）知識點

　　了解确定物體位置的方法。

　　能根據平面圖确定圖中任意兩地的相對位臵（以其中一地為觀察點，度量另一地所在方向以及兩地的距離）

　　1．數對：一般由兩個數組成。作用：數對可以表示物體的位置，也可以确定物體的位置。

　　2．行和列的意義：豎排叫做列，橫排叫做行。

　　3．數對表示位置的方法：先表示列，再表示行。用括号把代表列和行的數字或字母括起來，再用逗号隔開。例如：在方格圖（平面直角坐标系）中用數對（3，5）表示（第三列，第五行）

　　（1）在平面直角坐标系中X軸上的坐标表示列，y軸上的坐标表示行。如：數對（3,2）表示第三列，第二行。

　　（2）數對（X，5）的行号不變，表示一條橫線，（5，Y）的列号不變，表示一條豎線。（有一個數不确定，不能确定一個點）

　　4．兩個數對，前一個數相同，說明它們所表示物體位置在同一列上。

如：（2，4）和（2，7）都在第2列上。

　　5．兩個數對，後一個數相同，說明它們所表示物體位置在同一行上。

如：（3，6）和（1，6）都在第6行上。

　　6．圖形平移變化規律：

　　（1）圖形向左平移，行數不變，列數減去平移的格數。圖形向右平移，行數不變，列數加上平移的格數。

　　（2） 圖形向上平移，列數不變，行數加上平移的格數。圖形向下平移，列數不變，行數減去平移的格數。

　　第七單元　用方程解決問題

　　1．列方程解應用題的步驟：

　　（1）找到題中的等量關系式

　　（2）解設所求量為x

　　（3）根據等量關系式列出相應的方程

　　（4）解答方程，注意計算結果不帶單位

　　（5）檢驗作答

　　2．在有多個未知數量的應用題中，通常應将1倍數設為x，舉例如下：

　　例：爸爸的年齡是兒子年齡的4倍，父子倆年齡之和為40，求父親和兒子的年齡各是多少歲？

　　解：首先根據題意找出等量關系式：爸爸年齡 兒子年齡=40

　　因為兒子年齡是1倍數，所以：設兒子年齡為x歲，那麼爸爸年齡就是4x，代入等量關系式得：

　　爸爸年齡為：4x=4×8=32(歲)

　　答：爸爸的年齡為32歲，兒子的年齡為8歲。

　　3．相遇問題涉及到的公式：

　　　　路程=速度×時間

　　　　時間=路程÷速度

　　　　相距距離=速度和×相遇時間

　　第八單元　數據的表示和分析

　　1．條形統計圖

　　優點：很容易看出各種數量的多少。

　　注意：畫條形統計圖時，直條的寬窄必須相同。

　　取一個單位長度表示數量的多少要根據具體情況而确定；

　　複式條形統計圖中表示不同項目的直條，要用不同的線條或顔色區别開，并在制圖日期下面注明圖例。

　　2．折線統計圖

　　用一個單位長度表示一定的數量，根據數量的多少描出各點，然後把各點用線段順次連接起來。

　　優點：不但可以表示數量的多少，而且能夠清楚地表示出數量增減變化的情況。

　　注意：折線統計圖的橫軸表示不同的年份、月份等時間時，不同時間之間的距離要根據年份或月份的間隔來确定。

　　3．扇形統計圖

　　用整個圓的面積表示總數，用扇形面積表示各部分所占總數的百分數。

　　優點：很清楚地表示出各部分同總數之間的關系。

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