怎麼樣才能學會質數?撰文 | Patrick Honner翻譯 | C&C，我來為大家科普一下關于怎麼樣才能學會質數?以下内容希望對你有幫助!

怎麼樣才能學會質數

撰文 | Patrick Honner

翻譯 | C&C

審校 | 藏癡

如果你一直關注這個月的數學新聞，你就會知道35歲的數論家詹姆斯·梅納德（James Maynard）獲得了菲爾茲獎——數學家的最高榮譽。據新聞報道，梅納德喜歡的數學問題“簡單到足以向高中生解釋，但卻足以難倒數學家幾個世紀”，其中一個簡單的問題是：當你沿着數軸移動時，總會有靠在一起的質數嗎？

你可能已經注意到數學家對質數很着迷。是什麼吸引了他們？也許是因為質數體現了數學中一些最基本的結構和奧秘。質數描繪了乘法的世界，它允許我們用唯一的因式分解來分類每一個數字。但是，即使人類從乘法誕生之初就開始研究質數，我們仍然不确定質數會出現在哪裡，它們的分布範圍有多廣，或者它們的距離有多近。就我們所知，質數的分布沒有簡單的規律。

我們對這些基本概念的迷戀導緻了數百種不同類型質數的發明或發現：梅森質數(2^ⁿ-1形式的質數)，平衡質數 (兩個相鄰質數的平均值) ，索菲·日爾曼質數（p是質數同時2p 1也是質數），如此等等。

人們對這些特殊質數的興趣源于對數字的研究和新發現的獲得。“數位敏感質數 (digitally delicate primes) ”也是如此。最近，數位敏感質數産生了一些關于最基本問題的驚人結果：某些類型質數的出現頻率到底有多少？

注意q不可能在上面的質數列表中，因為它比列表中所有的數都大。所以如果存在一個有限的質數列表，那麼q就不是質數。但如果q不是質數，那麼它一定能被除它和1以外的數整除。反過來，這意味着q一定能被列表中的某個質數整除，但由于q的構造方式，q除以鍊表上的任何數，餘數都是1。顯然q既不是質數也不能被任何質數整除，出現這樣矛盾的原因是假設質數數量有限。因此，為了避免這個矛盾，實際上必須有無窮多個質數。

考慮到質數有無窮多個，你可能會認為所有種類的質數都很容易找到，但數學家接下來要學習的一件事是質數可以有多分散。一個被稱為質數間隙的關于相鄰質數之間間隔的簡單結果，說明了一些令人驚訝的事情。

前10個質數——2、3、5、7、11、13、17、19、23和29——之中，你可以看到由一個或多個合數 (不是質數的數，如4、12或27) 組成的空隙。你可以通過計算其中合數的數目來測量這些間隙：例如，在2和3之間有一個尺寸為0的間隙，在3和5、5和7之間有一個尺寸為1的間隙，在7和11之間有一個尺寸為3的間隙，等等。這個列表中最大的間隙是23和29之間的5個合數——24、25、26、27和28。

現在讓我們看看一個令人難以置信的結果：質數間隙可以是任意長的。這意味着存在相鄰的質數，它們之間的距離是無窮遠。也許同樣令人難以置信的是，這個事實非常容易被證明。

我們上面已經有了一個長度為5的質數間隙。會有長度為6的嗎？我們不必尋找質數表來找到這樣的例子，我們可以自己構造一個。為此，我們将使用基本算術公式中使用的階乘函數：根據定義，整數n的階乘n!=n×(n−1)×(n−2)×…×3×2×1，例如3!= 3×2×1=6和5!=5×4×3×2×1=120。

現在讓我們來構造我們想要的質數間隙。考慮以下連續的數字序列：

7! 2， 7! 3， 7! 4， 7! 5， 7! 6， 7! 7

因為7!=7×6×5×4×3×2×1，我們序列中的第一個數字，7! 2可以被2整除，你可以通過分解看出:

7! 2=7×6×5×4×3×2×1 2=2(7×6×5×4×3×1 1).

同樣，第二個數字，7! 3，能被3整除，因為 :

7! 3=7×6×5×4×3×2×1 3=3(7×6×5×4×2×1 1).

同樣，7! 4能被4整除，7! 5能被5整除，7 ! 6能被6整除，還有7! 7 能被7整除，因此7! 2， 7! 3， 7! 4， 7! 5， 7! 6， 7! 7是六個連續的合數。我們的質數間隙至少是6。這種策略很容易概括。序列 n! 2， n! 3， n! 4， …， n! n是一個由n−1個連續合數組成的序列，這意味着，對于任何n，存在一個長度至少為n−1的質數間隙。

這表明存在着任意長的質數間隙，所以在自然數列表中，有一些地方離最近的質數相差了100個，1000個，甚至10億個數字。

從這些結果中可以看出一種典型的矛盾。質數有無窮多個，而連續的質數也可以相距無窮遠。更重要的是，有無限多個相鄰的質數。大約10年前，張益唐的開創性工作引發了一場縮小間隙和證明孿生質數猜想的競賽。孿生質數猜想斷言，有無窮多對相差僅為2的質數。孿生質數猜想是數學中最著名的開放問題之一，詹姆斯·梅納德（James Maynard）為證明這一難以捉摸的結果做出了自己的重大貢獻。

這種矛盾也出現在最近關于所謂的數位敏感質數的研究結果中。為了了解這些數字是什麼，以及它們可能出現的位置，請花點時間思考下面這個奇怪的問題：有沒有一種兩位數的質數，隻要其中一位數有所變化，就一定會成為合數？

為了了解數位敏感，我們來試試數字23。我們知道它是個質數，但如果你改變它的個位數會怎樣？20、22、24、26、28都是偶數，因此是合數；21能被3整除，25能被5整除，27能被9整除。到目前為止，一切順利。但如果把個位換成9，得到29，仍然是質數。所以23不是我們要找的質數。

37呢？正如我們上面看到的，我們不需要檢查偶數或以5結尾的數，所以我們隻檢查31、33和39。31也是質數，所以37也不行。

這樣的數字存在嗎？答案是肯定的，但我們必須一直算到97才能找到它：97是質數，但91 (能被7整除)、93 (能被3整除) 和99 (也能被3整除) 都是合數，除此之外就是偶數和95。

如果你把質數的任何一個數字換成其他數字，它就不再是質數，那麼這個質數就是“敏感的”。到目前為止，我們看到97在個位數字上很敏感——因為改變那個數字總是産生合數——但是97滿足數位敏感的全部标準嗎？答案是否定的，因為如果把十位數字改成1，得到17，一個質數。(注意37、47和67也都是質數。)

事實上，沒有兩位數的數位敏感質數。下表列出了所有兩位數的數字，其中質數被标記出來。

同一行中的所有數都有相同的十位，同一列中的所有數都有相同的個位。97是它所處的這一行中唯一一個帶陰影的數字，這說明它在個位上很敏感，但它不是這一列的唯一質數，這意味着它在十位上不敏感。

數位敏感的兩位數質數必須是其行和列中唯一的質數。如表所示，不存在這樣的兩位數質數。那麼一個數位敏感的三位數質數呢？下面是一個類似的表格，顯示了100到199之間的三位數質數的布局，其中的合數被省略了。

這裡我們看到113獨自占據一行，這意味着它在個位數上很敏感。但是113并不在它自己獨占的一列中，所以對十位數字進行一些修改(比如将十位改為0得到103或改為6得到163)就産生了質數。由于沒有一個數字獨自在一行以及一列中，因此我們很快就會發現：如果你改變某個三位數的個位或十位數字，沒有誰一定是合數。這意味着不可能有三位數的數位敏感質數。注意，我們甚至沒有檢查百位。要真正做到數位敏感，一個三位數的數字必須在三維表格中避開三個方向的質數。

數字世界中真的存在數位敏感質數嗎？在數軸上越往遠處質數就越稀疏，這使得它們不太可能在高維表的行和列中交叉。但更大的數字有更多的數位，每增加一個數位，成為數位敏感質數的可能性就會降低。

如果繼續研究，你會發現數位敏感質數确實存在。最小的是294，001。當你改變其中一位數時，你得到的數字——比如794，001或284，001——将是合數。還有更多：接下來的幾個是505447；584141；604171；971767；1062599。事實上，這是一個無窮數列。著名數學家保羅·埃爾德什（Paul Erdős）證明了數字上有無窮多個數位敏感質數。這隻是關于這些奇怪數字的許多令人驚訝的結果中的第一個。

例如，埃爾德什不僅證明了有無窮多個數位敏感質數：他還證明了在任何基數下都有無窮多個數位敏感質數。因此，如果你選擇用二進制、三元或十六進制來表示數字，你仍然可以找到無窮多個數位敏感質數。

數位敏感質數并不僅僅是無限的：它們在所有質數中所占的比例不為零。這意味着，如果你觀察數位敏感質數的數量與所有質數數量的比率，這個分數是一個大于零的數字。用專業術語來說，所有質數的“正值的比例”在數位上是敏感的，正如菲爾茲獎得主陶哲軒 (Terence Tao) 在2010年證明的那樣。質數本身在所有數中所占的比例并不為正，因為數軸越往外，質數就越少。然而，在這些質數中，你會繼續足夠頻繁地發現數位敏感質數，使得數位敏感質數與總質數的數量比例保持在零以上。

也許最令人震驚的發現是2020年關于這些奇怪數字的新變化的結果。通過放寬數位的概念，數學家們重新設想了數字的表示方式：他們不再隻考慮97，而是認為97前面有0：…

0000000097。

每個前導零都可以被認為是一個數位，數位敏感的問題可以擴展到這些新的表示。是否存在“廣義數位敏感質數”——如果你改變任何一個數位，包括前導的任何一個零，質數總是成為合數？由于數學家Michael Filaseta和Jeremiah Southwick的工作，我們驚奇地知道答案是肯定的。不僅存在廣義數位敏感質數，而且它們的數量也是無窮無盡的。

質數構成了一串無窮無盡的數學謎題，供專業人士和愛好者們玩味。我們可能永遠無法解開它們所有的秘密，但你可以指望數學家不斷地發現和發明新的質數種類來探索。

練習

1. 2和101之間最大的質數間隙是多少？

【答案】最大的間隙在質數89和97之間。一般來說，當你沿着數軸往外走的時候，間隙會變大，當然孿生質數猜想認為無論你往外走多遠，總有離得很近的質數。還請注意，在本專欄中使用的構造質數間隙的方法是多麼低效：要構造如此大小的質數間隙，你将從數字8! 2=40322開始。

【答案】并不是。考慮前六個質數：2、3、5、7、11和13。在這種情況下，數字q将是2×3×5×7×11×13 1= 30031。它不能被2、3、5、7、11或13整除，但它不是質數：它可以分解成30031 =59×509。注意它有質數因子，但它們都比前6個質數大。

【答案】如果k或q是質數，我們就證明完了。如果q不是質數，它是合數，也就是說它能被某個質數整除，但我們已經知道它不能被前n個質數整除。因此它必須能被一個大于前n個質數的質數整除；因為這些都是小于k的質數，所以這個質數一定大于k，但這個質數能除q，所以它一定小于q，所以k和q之間一定有一個質數。

4. 你能找到最小的在個位和十位數上敏感的質數嗎？這意味着改變個位或十位數字總是會産生合數。(你可能需要編寫一個計算機程序來做到這一點!)

【答案】第一個滿足這個性質的質數是2459，因為2451、2453和2457都是合數(滿足個位數敏感标準)，2409、2419、2429、2439、2449、2469、2479、2489和2499都是合數(滿足十位數字敏感标準)。然而，2459并不是數位敏感質數，因為2659是質數，所以一旦你開始考慮百位數字，它就失效了。

挑戰問題：用二進制表示時，你能找到最小的數位敏感質數嗎？回想一下，在二進制或以2為基數的情況下，唯一的數字是0和1，每個位值代表2的幂。例如，8表示為10002，因為8=1×23 0×22 0×21 0×20，而7以2為基數表示為1112，因為7=1×22 1×21 1×20。

【答案】127=11111112是數位敏感的，因為126=11111102， 125=11111012， 123=11110112， 119=11101112， 111=11011112， 95=10111112，63=01111112都是合數。

本文經授權轉載自微信公衆号“中科院物理所”，編輯：藏癡。

原文鍊接：How Can Infinitely Many Primes Be Infinitely Far Apart?

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