1. 一魚池有一進水管和一出水管，出水管每小時可排出 5 m3 的水，進水管每小時可注入 3 m3 的水，現魚池中約有 60 m3 的水．

(1) 當進水管、出水管同時打開時，請寫出魚池中的水量 y ( m3 ) 與打開的時間 x ( 小時 ) 之間的函數關系式；

(2) 根據實際情況，魚池中的水量不得少于 40 m3 . 如果管理人員在上午 8：00 同時打開兩水管，那麼最遲不得超過幾點，就應關閉兩水管？

【參考答案】

解：

(1) 由題意，可知 y＝ 60－5x＋3x .

∴ y＝60－2x ( 0 ≤ x ≤ 30 )；

(2)根據題意，得60－2x ≥ 40，

∴ x ≤ 10 .

∴ 最遲應在下午 6：00 關閉兩水管．

2. 藝術節期間，我校樂團在曲江音樂廳舉行專場音樂會，成人票每張 50 元，學生票每張 10 元，為了豐富廣大師生的業餘文化生活，制定了兩種優惠方案：

方案1：購買一張成人票贈送一張學生票；

方案2：按總價的 90% 付款．

我校現有 4 名老師與若幹名 ( 不少于 4 人 ) 學生準備去聽音樂會．

(1) 設學生人數為 x (人)，付款總金額為 y (元)，請分别确定兩種優惠方案中 y 與 x 的函數關系式；

(2) 你認為哪種方案較節省費用？為什麼？

【參考答案】

解：

(1) 按優惠方案 1 可得：

y1＝50 × 4＋( x－4 ) × 10＝10x＋160 ( x ≥ 4 )，

按優惠方案 2 可得：

y2＝(10x＋50 × 4) × 90%＝9x＋180 ( x ≥ 4 )；

(2) ∵ y1－y2＝x－20 ( x ≥ 4 )，

① 當 y1－y2＝0 時，得 x－20＝0，解得 x＝20，

∴ 當 x＝20 時，兩種優惠方案付款一樣多；

② 當 y1－y2＜0 時，得 x－20＜0，解得 x＜20，

∴ 當 4 ≤ x＜20 時，y1＜y2，選方案 1 較劃算；

③ 當 y1－y2＞0 時，得 x－20＞0，解得 x＞20，

∴ 當 x＞20 時，y1＞y2，選方案 2 較劃算．

3.某工廠計劃生産甲、乙兩種産品共 2500 噸，每生産 1 噸甲産品可獲得利潤 0.3 萬元，每生産 1 噸乙産品可獲得利潤 0.4 萬元，設該工廠生産了甲産品 x ( 噸 )，生産甲、乙兩種産品獲得的總利潤為 y ( 萬元 )．

(1) 求 y 與 x 之間的函數表達式；

(2) 若每生産 1 噸甲産品需要 A 原料 0.25 噸，每生産 1 噸乙産品需要 A 原料 0.5 噸，受市場影響，該廠能獲得的 A 原料至多為 1000 噸，其它原料充足．求出該工廠生産甲、乙兩種産品各為多少噸時，能獲得最大利潤．

【參考答案】

解：

(1) y＝x × 0.3＋( 2500－x ) × 0.4＝－0.1x＋1000 ( 0 ≤ x ≤ 2500 )；

(2) 由題意得：x × 0.25＋( 2500－x ) × 0.5 ≤ 1000，

解得 x ≥ 1000 .

又 ∵ x ≤ 2500，

∴ 1000 ≤ x ≤ 2500 .

∵－0.1＜0，

∴ y 的值随着 x 的增加而減小，

∴ 當 x＝1000 時，y 取最大值，此時生産乙種産品 2500－1000＝1500 ( 噸 )．

答：工廠生産甲産品 1000 噸，乙産品 1500 噸時，能獲得最大利潤．

4. 随着科技的飛速發展，智能産品慢慢普及到人們的生活，給人們的生活帶來極大的便利．智能拖地機也逐漸受到人們的青睐，走進人們的生活．某經銷商決定購買甲、乙兩種類型的智能拖地機共 8 台進行試銷．已知一台乙型智能拖地機的價格是一台甲型智能拖地機價格的 1.5 倍；購買甲型智能拖地機3 台，乙型智能拖地機 2 台，共需 6000 元.

(1) 求甲、乙兩種類型的智能拖地機每台的價格各是多少元；

(2)該公司實際購買時，廠家将甲型智能拖地機的價格下調 10% 元，乙型智能拖地機的價格不變．設該公司購買甲型智能拖地機 x ( 台 )，購買兩種類型的智能拖地機的總費用為 y ( 元 )，求出 y 與 x 的函數關系式；若要使總費用不超過 9500 元，則該公司如何購買才能使總費用最低？

【參考答案】

解：

(1) 設甲型智能拖地機每台的價格是 a 元，乙型智能拖地機每台的價格是 b 元，

答：甲型智能拖地機每台的價格是 1000 元，乙型智能拖地機每台的價格是 1500 元；

(2) 由題知該公司購買甲型智能拖地機 x 台，則購買乙型智能拖地機 ( 8－x ) 台，則根據題意得，

y＝1000x × 0.9＋1500 ( 8－x )＝12000－600x，

∵ y ≤ 9500，解得 x ≥ 25/6 ，

又 ∵ 0 ≤ x ≤ 8，

∴ 25/6 ≤ x ≤ 8，

∵ x 為整數，

∴ x 可取 5，6，7，8，

∵－600＜0，

∴ y 随 x 的增大而減小，

∴ 當 x＝8 時，y 值最小，

∴ y 與 x 的函數關系式為 y＝12000－600x，要使總費用不超過 9500 元，且總費用最低，

則該公司應購買 8 台甲型智能拖地機，0 台乙型智能拖地機．

5. 延安是中國優秀旅遊城市之一，有着 “中國革命博物館城” 的美譽．小明和爸爸在節假日準備去延安革命紀念館遊玩，在去高鐵站的途中準備網絡呼叫專車．據了解，在非高峰期時，某種專車所收取的費用 y ( 元 ) 與行駛裡程 x ( km ) 之間的函數關系如圖所示，請根據圖象解答下列問題：

(1) 求 y 與 x 之間的函數關系式；

(2) 若專車低速行駛 ( 時速 ≤ 12 km/h)，每分鐘另加 0.4 元的低速費 ( 不足 1 分鐘的部分按 1 分鐘計算 )．若小明和爸爸在非高峰期乘坐專車，途中低速行駛了 6 分鐘，共付費 32 元，求專車的行駛裡程．

【參考答案】

解：

(1)

① 當 0＜x＜3 時，y＝12；

② 當 x ≥ 3 時，設 y 與 x 之間的函數關系式為 y＝kx＋b ( k ≠ 0 )，将點 (3，12)，(8，23) 代入，

∴ y＝2.2x＋5.4，

綜上所述，y 與 x 之間的函數關系式為

(2) ∵ 車費為 32 元，

∴ 行駛裡程超過 3 km，

∴ 由題意得 2.2x＋5.4＋0.4 × 6＝32，解得 x＝11.

答：專車的行駛裡程為11 km.

6. 周六上午 8 點，小穎同爸爸媽媽一起從西安出發回安康看望姥姥，途中他們在一個服務區休息了半小時，然後直達姥姥家．如圖是小穎一家這次行程中距姥姥家的距離 y ( 千米 ) 與他們路途所用的時間x ( 時 ) 之間的函數圖象，請根據以上信息，解答下列問題：

(1)求直線 AB 所對應的函數關系式；

(2)已知小穎一家出服務區後，行駛 30 分鐘時，距姥姥家還有 80 千米，問小穎一家當天幾點到達姥姥家？

【參考答案】

解：

(1) 設直線 AB 所對應的函數關系式為 y＝kx＋b，

把 (0，320) 和 (2，120) 代入 y＝kx＋b，

∴ 直線 AB 所對應的函數關系式為 y＝－100x＋320；

(2) 設直線 CD 所對應的函數關系式為 y＝mx＋n，

把 (2.5，120) 和 (3，80) 代入 y＝mx＋n，

∴ 直線 CD 所對應的函數關系式為 y＝－80x＋320，

當 y＝0 時，x＝4，

∴ 小穎一家當天 12 點到達姥姥家．

7. 已知 A、B 兩地之間有一條 270 千米的公路，甲、乙兩車同時出發，甲車以 60 千米/時的速度沿此公路從 A 地勻速開往 B 地，乙車從 B 地沿此公路勻速開往 A 地，兩車分别到達目的地後停止．甲、乙兩車相距的路程 y ( 千米 ) 與甲車的行駛時間 x ( 時 ) 之間的函數關系如圖所示．

(1) 求甲、乙兩車相遇後 y 與 x 之間的函數關系式；

(2) 當甲車到達距 B 地 70 千米處時，求甲、乙兩車之間的路程．

【參考答案】

解：

(1) 乙車的速度為 ( 270－60 × 2 ) ÷ 2＝75 千米/時，

a＝270 ÷ 75＝3.6，b＝270 ÷ 60＝4.5.

設甲、乙兩車相遇後 y 與 x 之間的函數關系式為 y＝kx＋m ( k ≠ 0 )，

當 2＜ x ≤ 3.6 時，斜率 k 為兩車速度和135，

∴ y＝135x＋m，

又 ∵ x＝2 時，y＝0，

∴ m＝－270，

∴ y＝135x－270；

當 3.6＜ x ≤ 4.5 時，斜率 k 為甲車速度 60，

∴ y＝60x＋n，

又 ∵ x＝4.5 時，y＝270，

∴ n＝0，

∴ y＝60x .

綜上，

(2) 甲車距 B 地 70 千米時，兩車行駛的時間為 (270－70)/60＝10/3 時，

∵ 10/3 ＞ 2，

∴ 當 x＝10/3 時，y＝135 × 10/3－270＝180.

∴ 當甲車距 B 地 70 千米時，甲、乙兩車之間的路程為 180 千米．

8. 某校計劃組織 750 名師生外出參加集體活動，經研究，決定租用當地租車公司 A、B 兩種型号的客車共 30 輛作為交通工具．下表是租車公司提供給學校有關這兩種型号客車的載客量、租金單價和押金信息：

設租用 A 型号客車 x 輛，租車總費用為 y 元．

(注：載客量指的是每輛客車最多可載的乘客數)

(1) 求 y 與 x 之間的函數關系式；

(2) 若要使租車總費用不超過 17500 元，應如何租車才能使總費用最少．

【參考答案】

解：

(1) 由題意，得 y＝360x＋260×(30－x)＋8000＝100x＋15800，

∴ y 與 x 之間的函數關系式為 y＝100x＋15800 ( 0 ≤ x ≤ 30 )；

(2)

∵ 30x＋20(30－x) ≥ 750，

∴ x ≥ 15，

∴ 15 ≤ x ≤ 30，且 x 為正整數．

由題意得 100x＋15800 ≤ 17500，

∴ x ≤ 17，

∴ 15 ≤ x ≤ 17，

∵ 在 y＝100x＋15800 中，y 随 x 的增大而增大，

∴ 當 x＝15 時，y 取得最小值，

此時 30－x＝15，

∴ 租用 A、B 兩種型号客車各15 輛時，總費用最少．

9. 李大爺有大小相同的土地 20 塊和現金 4000 元，計劃 2019 年種植水稻和豌豆這兩種農作物，預計每塊地種植兩種農作物的成本、産量及每千克的收益如下表：

若李大爺用 x 塊地種植水稻，一個收獲季的純收益為 y 元．(純收益＝收益－成本)

(1) 請寫出 y 與 x 之間的函數關系式；

(2) 李大爺應如何分配種植土地 ( 取整數 )，才能獲得最大純收益？最大純收益為多少元？

【參考答案】

解：

(1) 若李大爺用 x 塊地種植水稻，則用 ( 20－x ) 塊地種植豌豆．由題意得，

y＝(800x × 3－240x)＋[200(20－x) × 5－80(20－x)＝1240x＋18400 ( 0 ≤ x ≤ 20 )；

(2) 由題意得，240x＋80( 20－x ) ≤ 4000，解得 x ≤ 15.

由 (1) 中的函數關系式知，y 随 x 的增大而增大，

∴ 當 x＝15 時，y 取得最大值，最大值為1240×15＋18400＝37000 (元)．

則 20－15＝5 (塊)．

答：當李大爺用15 塊地種植水稻、5塊地種植豌豆時，才能獲得最大純收益，最大純收益為37000元．

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