上一篇文章寫了如何通過PWM實現數字到模拟量的轉換，得到很多朋友們的反饋，大家都比較感興趣的如何選用電阻和電容的值才能得到一個滿意的模拟值（低紋波）？

首先我們看一下脈沖信号的頻譜，根據傅立葉變換，周期為T的脈沖信号可以分解為多個單頻率的信号的疊加，最小的頻率分量為1/T，有興趣的同學可以通過Matlab自己做一下分析。

比如，我們對幅度為3.3V、周期為10uS（頻率100KHz）、占空比為50%的脈沖信号（此時為方波）進行FFT變換，可以得到1.65V的直流分量、100KHz、300KHz（3次諧波）、500KHz（5次諧波）。。。等頻率分量，最小的交流頻率為100KHz。

占空比為50%的脈沖信号的波形

占空比為50%的脈沖信号的頻譜分量

改變占空比呢？來看看占空比為10%和90%的脈沖波形經過FFT之後的交流頻率分量

占空比為10%的脈沖的頻率分量

占空比為90%的脈沖的頻率分量，隻是直流分量不同，交流部分與10%的相同

從以上簡單的分析可以看出，無論占空比是多少，脈沖波形除了直流分量以外，交流部分的最低頻率都為脈沖的重複頻率100KHz上，在DC和脈沖重複頻率100KHz之間一馬平川，光秃秃的。

因此，如果要得到直流分量，隻需要去掉100KHz以上的頻譜能量就可以了。最簡單的方法就是通過由一個電阻R和一個電容C構成的一階低通濾波器，其截止頻率為fc=1/2*Pi*R*C，我們要得到的是直流分量，濾除的是100KHz以上的頻率，因此隻要截止頻率在100KHz以内，并且能對100KHz以上的所有頻譜都有較好的抑制，就能夠得到比較好的DC輸出。

LPF電路構成和頻率響應

RC電路的時域響應

可以想象，截止頻率越高，越是接近要濾除的頻率（比如50KHz之于100KHz），該濾波器對100KHz的濾波效果就較差，就會有一定量的殘餘能量出現在濾波器的輸出端，如下圖，也就是輸出的波形紋波比較高。

對脈沖頻率為100KHz的信号進行截止頻率為50KHz的低通濾波得到的輸出信号，紋波比較高

如果降低截止頻率，越是接近直流，從而距離要濾除的頻率越遠，比如針對100KHz的脈沖頻率選擇1KHz作為LPF的截止頻率，則在100KHz處可以達到非常高的抑制度，100KHz的殘留就非常小，也就是在輸出的直流信号上的紋波可以變得很小，見下圖。

截止頻率為1KHz的低通濾波器的建立時間很長 ～ 1ms

但卻出現了另外一個問題 - 需要花費很久的時間（學名叫建立時間 setting time）才能達到應該達到的DAC的直流值。原因就是fc低，意味着RC更高，也就是充電的時間常數變得很長 - R增大意味着對C進行充電的電流變小，要對C沖電到一定的值花費的時間也就更久。

因此這就出現了一個讓人糾結的選擇：

• 選擇較低的截止頻率 - 較低的紋波，較長的建立時間
• 選擇較高的截止頻率 - 較大的紋波，較快地建立時間

你會說一階不夠，要不多用幾階濾波器，加上電感或者有源的運放來進行低通濾波，這确實能改善濾波的效果，但 -- 電路的複雜度增加、元器件成本增加了，且改善有限。

那不增加電路的複雜程度，還是隻用這一個R和一個C是否能夠改善性能呢？

答案是肯定的，其實也很簡單 - 把交流分量的頻率踢得遠遠的，在保持較低的時間常數（建立時間短）的情況下，将LPF的截止頻率fc和要濾除的脈沖重複頻率之間的間隔盡可能的拉開，比如将100KHz的重複頻率給踢到10MHz（出去100倍），占空比不變，如果用原來的50KHz的濾波器，到了10MHz的地方怎麼也把10MHz以上的頻率給消滅的隻剩下一點渣了。看下圖，直流建立時間大約為15µs， 紋波變得隻有25mV左右了。

用截止頻率為50KHz的RC得到的建立時間大約為15µs

用截止頻率為50KHz的RC對10MHz的脈沖信号進行LPF得到的紋波

是不是很神奇？其實理論依據很簡單，自己把低通濾波器的頻響曲線畫一下就很容易理解了。

到這裡我們就應該知道如何設計自己的PWM系統的各項參數來構造一個簡單好用的DAC。

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