想要了解數學發展史的同學們，其實不用去翻那些厚達上千頁的辭典一般的正經數學史，看些輕松的材料同樣會有很好的效果。比如我們可以從一些問題的誕生，論戰，最後解決的線路入手，有些問題就像一隻會下金蛋的雞一樣寶貴。了解了這些問題的曆史，其實就了解了相當多的數學發展史了，比如費馬大定理，素數的的研究曆程就是一部精彩絕倫的數學史詩。當然了，今天要說的解方程的故事同樣波瀾壯闊，讓人印象深刻。

《九章算術》——最早出現“方程”一詞

方程，就是含有未知數的等式。“方程”一詞可不是舶來品，“方程”一詞最早出現在《九章算術》中，且基本與今天的方程同義。大家最先學習的就是一元一次方程，今天的人們很難想象，創造性地發明這個詞的是康熙皇帝。“元”是未知數，“次”是最高項的階數，簡潔易懂，讓人容易接受。康熙是不是中國曆史最優秀的皇帝另當别論，但絕對是數學最好的皇帝。

人們對于方程最大的興趣就是解出這個未知量x,對于一元二次方程的公式解，大概從方程研究剛剛開始的時候就已經有了圓滿的解決。

16世紀的韋達發現了根與系數的關系，建立的韋達定理也深深折磨着中學時代的小朋友們。

數學家韋達

二次以下方程的解基本上沒有任何阻力就被發現了，但是到了三次方程之後，數學界卻一直掙紮了很久才有了滿意的答案，16世紀，塔塔利亞，卡爾丹諾，費拉裡在宮鬥劇一般的競争裡逐步完善了三次，四次方程的公式解法。塔塔利亞用到的方法是用代換将三次降階成二次，這樣就可以用已經有過的公式法來解了，這種降階的方法在四次方程的解法上同樣有效。我在中學時代也曾特别想研究出三次方程的根式解法，那個時候的小縣城網絡太不發達，也沒有什麼外來的資料。然而閉門造車，苦苦探索一個月之後，還是宣告失敗。

值得一提的是，正是對于二次，三次方程的研究，讓人們開辟了i這個虛數單位，将人類所認識的數擴展到複數域。

三次方程根式解法發現者之一——塔塔利亞

三次，四次方程根式解法有着落了，自然而然地人們就開始期待一般五次方程的根式解了。然而這條路就比前面的解法探尋之路要艱難的多，第一個做出成果的拉格朗日，這位大神的名字對于很多人來說幾乎都是驚悚的。

拉格朗日系統地總結了前人關于三次，四次方程根式解的研究成果。他發現了，三次方程下總是對應着特定的輔助方程，這個方程隻有二次，四次方程下就對應着一個三次的輔助方程。拉格朗日把輔助方程的解稱作原方程根的預解函數。很明顯對于求解某個方程來說，能夠得到預解函數至關重要，隻要有了預解函數就可以把原來的方程層層降次，最終得到了一個顯而易見求出解的簡單方程。

拉格朗日

拉格朗日準備大幹特幹，将這套輔助方程的理論放在五次方程的根式求解上，然而他失敗了。用預解函數的理論來攻克五次方程時，居然得到了一個六次的輔助方程，根本就不是預料中的四次，于是之前那套可以層層降次的法子不管用了，原來解方程不是這麼簡單。後來拉格朗日對五次方程做了大量的研究，最終也沒有找到五次方程的根式解。然而拉格朗日仍然固執地認為，五次方程根式解是存在的，隻是找到它需要用更加高深的技巧，自己能力尚且達不到。他卻并沒有從另外一個角度來考慮，其實五次方程時沒有根式解的答案上來。

到了拉格朗日這裡，其實對于五次方程根式解的研究仍然處在朦胧的探索當中，人們當時仍然被兩大問題困擾：

第一，任意n次方程是否都有至少一個解？第二，n次方程如果有解，那麼到底有多少個解？

這個時候，高斯大神開始出手，他在1799年，1800年解決了這兩個問題。人們意識到，任意n次方程都會存在n個解，當時複數根的思想已經确立，因此不存在判别式的問題。然而高斯自己同樣沒有得到五次方程的根式解，這個時候高斯已經在考慮是否五次方程根式解壓根就不存在，然而，高斯本人卻樂觀認為要證明這個結論似乎并不是那麼困難。

高斯大神

高斯似乎給了五次方程根式解的研究指明了方向。然而最先沿着這個方向取得重要成就的卻是一位非常有毅力的“民科”——意大利内科大夫魯菲尼。

摩德納大學——魯菲尼曾任該大學校長

1800年，魯菲尼大夫寫出了一篇長達500頁的論文，論文中第一次系統闡述了，五次及以上方程沒有根式解的觀點。面對這篇冗長的“民科傑作”，正統的數學家也懶得去檢查，他們根本不相信這個業餘數學愛好者能夠解決困擾他們幾十年的重大問題。于是稿子是寄出去了，當然是杳無音信。

柯西

魯菲尼并沒有氣餒，他将論文又寄給了拉格朗日，這位研究五次方程解法的先驅，然而，拉格朗日卻難以做到像他老師歐拉一樣對待資曆低的數學家的态度，于是又是石沉大海。魯菲尼锲而不舍，1813年，他将自己的論文精簡了許多，終于去掉了之前繁雜難懂的部分，再次寄給英國皇家學會，終于柯西回了一封信給他，也充分肯定了他的研究成果。然而，還沒等到柯西把魯大夫的成果介紹給數學界，柯老師卻去世了，至此，魯大夫的成果終于徹底湮沒在學術圈裡。直到多年以後，人們才發現魯大夫那些很有價值的論文，從他的論文裡，人們也才意識到，是魯菲尼第一次把五次方程不存在根式解的研究帶上正途。

其實根據現在能夠找到的一些關于魯大夫的資料得知，他是一個擁有偉大人格的人。事實上，以他在數學方面的造詣，在當時的大學裡找個數學教授的職位綽綽有餘，真實的曆史上，也的确有很多大學邀請他去做數學教授，然而他卻都拒絕了。他是醫生出身，深知醫生的天職是什麼，他不願意放棄他的病人。也正是由于這麼一個神聖的選擇，他從來都沒有進入過學術圈，因此他也就很少在那些職業數學家圈子裡有名氣，這個數學界的圈子也很小。大學的數學研究所收到一位根本不知名作者的一篇長篇大論，基本上也就通通當成“民科”處理了。

研究對稱性最有利的工具——群論

至此離問題的最終解決好像就差臨門一腳了，誰都不會想到關于方程根式解存在性的徹底解決是由兩個二十多歲的年輕人完成了，更加不會想到，這兩個年輕人開辟了現代數學最偉大的一個分支之一——群論。

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